Особенности описания системы случайных величин

В практических применениях теории вероятностей к исследованию и обеспечению безопасности сложных технических систем приходиться сталкиваться с задачами, в которых искомый результат описывается не одной случайной величиной, а их большим числом, образующим единую систему. Например, неконтролируемое распространение аварийно высвободившегося вредного вещества может характеризоваться определенным уровнем концентрации в различных зонах заполненного им воздушного пространства или зараженной земной поверхности. Поэтому при рассмотрении подобных явлений удобно пользоваться их геометрической интерпретацией в виде системы учитываемых случайных величин, представляя комплекс из двух таких величин случайной точкой на плоскости, а трех – случайным вектором в трехмерном пространстве.

Как и для описания одной случайной величины, их система также может характеризоваться соответствующей функцией или плотностью распределения. Так, для задания функции F(x, у) распределения системы двух случайных величин X, Y применяется вероятность совместного выполнения двух неравенств:

(2.10)

Рис. 2.5. Графическая интерпретация функции F(x, у)

Руководствуясь геометрическим представлением, нетрудно показать, что приведенная функция есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки (х,у) в бесконечный квадрат, имеющий координаты вершины (х,у) и располагающийся левее и ниже этой точки, что и показано на рис. 2.5, а.

В аналогичной интерпретации функцию F₁ (х) распределения одной случайной величины X можно уподобить вероятности попадания в полуплоскость, расположенную левее абсциссы х (рис. 2.5, б), а функцию F₂(y) – такой же вероятности, но уже применительно к попаданию в полуплоскость, ограниченную сверху ординатой у (рис. 2.5, в).

Подобно приведенным выше сведениям о функции распределения одной случайной величины рассматриваемая здесь F(x,y) также обладает рядом специфических свойств:

а) данная функция является неубывающей по отношению к своим аргументам:

• при ,

• при ;

б) при принятии аргументами значения -∞ она становится равной нулю:

в) при принятии одним из аргументов значения +∞ функция распределения двух аргументов вырождается уже в функцию одного (другого) аргумента:

г) когда оба аргумента этой функции принимают предельное значение, равное +∞, то ее величина становится равной единице:

Аналогичным способом можно задавать и интерпретировать плотность f(х,у) распределения системы непрерывных случайных величин, равную вероятности попадания некоторой точки в прямоугольник R_Δ со сторонами Δх и Δу. По определению, такая функция является дифференциальным законом распределения, и ее значение может быть выражено через малые приращения аргументов в виде следующего соотношения:

деление правой части которого на площадь прямоугольника R_Δ а затем переход полученного при этом частного к пределу при Δх→0 и Δу → 0 позволяет представить рассматриваемую плотность в виде смешанной частной производной второго порядка от функции F(x,y), если она дифференцируема:

(2.11)

Что касается графической интерпретации законов распределения системы двух случайных величин, то ее примеры продемонстрированы на рис. 2.6.

В частности, в его левой (а) части показан фрагмент функции F(x, у) распределения применительно к вероятности Р(х, у) попадания случайной точки в пределы заданной там области R ее значений; тогда как в правой (б) – то же самое, но уже с помощью плотности f(x,у) вероятности, где такая же (одинаковая) вероятность представлена в виде соответствующей объемной фигуры под фрагментом трехмерной палатки.

Рис. 2.6. Вероятности попадания в область R как площадь (а) и объем (б)