Гидростатический напор и энергетический закон для жидкости, находящейся в равновесии

При выводе основного уравнения гидростатики выше (см. параграф 3.6) было получено дифференциальное уравнение вида

Прежде чем интегрировать это уравнение, представим его в следующем виде:

или

Проинтегрировав, получим

Величинапредставляет ту высоту, на которую поднялась бы жидкость в пьезометре, если бы верхний конец его находился под нулевым давлением р = 0 (рис. 3.12).

Рис. 3.12. Схема к определению гидростатического и пьезометрического напора

Таким образом, это есть высота, соответствующая абсолютному давлению в жидкости. Она называется приведенной (высота h2). A z = z2 – геометрическая высота выбранной точки над условной плоскостью сравнения 0–0. Отсюда

(3.22)

Уравнение (3.22) показывает, что сумма двух высот z2 и p/γ для любой точки жидкости остается постоянной. Эта сумма называется абсолютным (полным) гидростатическим напором.

Если конец пьезометра соединить с атмосферой при давлении В, то уравнение (3.22) примет вид

(3.23)

Сумма z1 и (р-В)/γ называется гидростатическим напором, а величина– пьезометрическим напором.

Горизонтальная плоскость, проведенная на высоте Нр, называется плоскостью гидростатического, или пьезометрического, напора, a Hs – плоскостью абсолютного (полного) напора. Очевидно, что Нр < Hs.

Выражениям (3.22) и (3.23) можно придать простой энергетический смысл. Рассмотрим частицу жидкости массой т. Ее потенциальная энергия относительно плоскости 0–0 будет mgz. Кроме того, под действием давления р частица может подняться на высоту , т.е. обладает потенциальной энергией давления, равной

Таким образом, полный запас потенциальной энергии частицы будет

Разделив последнее соотношение на mg, получим

где

Отсюда следует, что высота г есть удельная потенциальная энергия положения частицы, а р/γ – удельная потенциальная энергия давления.

Величина

является полной удельной потенциальной энергией частицы.

Последнее соотношение называется энергетическим законом для жидкости, находящейся в равновесии.

Для всех точек данного объема покоящейся жидкости удельная потенциальная энергия одинакова. Это утверждение справедливо как для полного (Hs), так и для пьезометрического (Нp) напоров.

Интегрирование уравнений Эйлера для случая относительного покоя жидкости

Пусть жидкость находится в емкости, которая движется прямолинейно и равноускоренно но горизонтальной плоскости с ускорением а (рис. 3.13).

Жидкость при движении находится под действием массовой силы тяжести и силы инерции от горизонтального перемещения. Соответствующие проекции массовых сил будут равны X = -a; Y = 0; Z = -g.

Уравнение (3.14), учитывая массовые силы, примет вид

Рис. 3.13. Схема сил, действующих на жидкость, при движении емкости по горизонтальной плоскости

Переменные в уравнении разделены. Интегрируя его, получаем

(3.24)

где С – постоянная интегрирования, определяемая из граничных условий, которые в данном случае имеют вид р = p0 при х = 0 и z = 0. Отсюда

(3.25)

Подставляя равенство (3.25) в соотношение (3.24), находим

(3.26)

Уравнение (3.26) для свободной поверхности, где р = р0, примет вид

Отсюда

(3.27)

Так как отношение a/g является константой, уравнение (3.27) будет уравнением прямой линии. Это означает, что плоскость, проведенная через оси х и z, будет пересекать наружную поверхность жидкости по линии АВ.

Отношение a/g представляет тангенс угла наклона прямой АВ к горизонтальной плоскости:

Отсюда

Запишем уравнение (3.26) для некоторой точки М в виде

или

(3.28)

Согласно равенству (3.27) первый член в правой части уравнения (3.28) будет , так как точка М' находится на поверхности.

Отсюда, учитывая, что, а zM=-b, получаем

или

(3.29)

Соотношение (3.29) представляет формулу гидростатического давления (3.21). Таким образом, давление в любой точке жидкости, движущейся вместе с емкостью прямолинейно и равноускоренно, определяется по формуле гидростатического давления, где h – глубина погружения точки под поверхностью жидкости. Например, давление в точке D будет

Рассмотрим жидкость, находящуюся в цилиндрической емкости, которая вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω (рис. 3.14).

Центробежная сила на единицу массы

где V – окружная скорость; r – расстояние от оси цилиндра до точки А.

Проекции массовых сил на соответствующие оси координат будут

Рис. 3.14. Схема сил, действующих на жидкость, при вращении емкости вокруг вертикальной оси

Подставляя их значения в соотношение , получаем

Интегрируя, находим

где С – постоянная интегрирования. Так как при х=0, у=0, z=0 р=p0, то С=р₀. Учитывая, что х2 + у2 = г2, находим

(3.30)

По формуле (3.30) можно найти давление в любой точке М жидкости по глубине емкости. Для нахождения поверхностей равного давления положим dp = 0, тогда будем иметь

Интегрируя, получаем

Отсюда

Следовательно, поверхности равного давления представляют собой параболоиды вращения.

При r = 0, z = 0 получаем С = 0 для уравнения свободной поверхности. Тогда уравнение свободной поверхности будет

Найдем давление в некоторой точке М, расположенной на глубине h от поверхности. Обозначив аппликату свободной поверхности через z0 (точка М'), получим

Подставляя это выражение в формулу (3.30), находим

или

где h = z0 + b. Таким образом, вновь получили формулу гидростатического давления (3.21).