Случайные погрешности

Случайные погрешности представляют собой погрешности, в появлении каждой из которых не наблюдается какой-либо закономерности. Случайные погрешности неизбежны и неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения. Они вызывают рассеяние результатов при многократном и достаточно точном измерении одной и той же величины при неизменных условиях, вызывая различие их в последних значащих цифрах (результаты многократных измерений одной и той же постоянной величины в одних и тех же условиях с помощью одного и того же измерительного устройства одним и тем же оператором могут отличаться друг от друга).

Каждая случайная погрешность возникает в результате воздействия многих факторов, каждый из которых сам по себе не оказывает значительного влияния на результат.

Так как случайные погрешности не поддаются исключению из результатов измерений, то при рассмотрении их влияния на результат измерений задача сводится к изучению свойств совокупностей результатов отдельных наблюдений.

Природа и физическая сущность случайных и систематических составляющих погрешности измерений различна. Однако оценки неисключенных остатков систематических погрешностей и случайных погрешностей осуществляются на основе обработки статистического материала, представляющего собой совокупность результатов измерений.

Для изучения случайных погрешностей используются методы теории вероятностей и математической статистики. Эти методы применимы и для неисключенных систематических составляющих.

Распределения случайных величин

Дискретные и непрерывные случайные величины. По своей физической природе измеряемые величины могут быть детерминированными и случайными.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, отдельные значения которой можно перенумеровать.

Примерами дискретных случайных величин являются число изделий, отказавших в процессе испытаний, количество бракованных деталей в партии и т. д.

Непрерывной называют случайную величину, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток. Примеры непрерывных случайных величин: отклонение размера изготовленной детали от номинала, погрешность измерения, величина отклонения формы детали, высота микронеровностей в данной точке поверхности и т. д.

Случайная величина не может характеризоваться каким-то одним значением. Для нее необходимо обязательно указать множество возможных значений и вероятностные характеристики, заданные на этом множестве.

Дискретные случайные величины полностью характеризуются вероятностями своих отдельных значений

Равенство X = хк является случайным событием.

Так как равенства X = хк образуют полную группу событий, то

Вероятностным описанием случайной величины является закон ее распределения.

Законом распределения случайной величины называют соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может быть задан в различной форме. Простейшей формой задания закона распределения является таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения дискретной случайной величины и соответствующие им вероятности, например:

Такую таблицу называют рядом распределения. Графическое изображение ряда распределения называют полигоном распределения случайной величины (рис. 5.1).

Задание функции распределения является обшей формой закона распределения как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Функцию распределения можно задать в виде интегрального закона распределения (функция распределения) и в виде дифференциального закона распределения (плотность вероятности).

Функцией распределения случайной величины X называют вероятность выполнения неравенства X< х

где х - неслучайный аргумент.

Рис. 5.1. График распределения вероятностей дискретной случайной величины

Функция распределения F(x) должна быть неубывающей функцией своего аргумента, т. е. F(-°°) = 0 и F(+°°) = 1.

На рис. 5.2 приведены графики функции распределения F(x) для дискретной (5.2, а) и непрерывной (5.2, б) случайных величин.

Рис. 5.2. Функции распределения дискретной: а) и непрерывной б) случайных величин

Плотностью вероятности непрерывной случайной величины называют производную функцию распределения

Плотность вероятности со(х) обладает следующими свойствами: ср(х) > 0 - неотрицательна;

Функция распределения F(x) выражается через плотность вероятности (р (х)

Функция распределения Я", как и вероятность, есть величина безразмерная, а плотность вероятности имеет размерность, обратную размерности случайной величины.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины на заданный интервал (а, Ь) определяется выражением

Геометрически эта вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и прямыми х = а и х = Ь (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Одно- (а) и двухмодальное (б) распределение вероятности случайной величины х