Равномерное распределение

Равномерным распределением называют такое распределение случайной величины, когда она с одинаковой вероятностью может принимать любое значение в заданных пределах.

Равномерное распределение случайной величины показано на рис. 5.9.

Рис. 5.9. Плотность вероятности (дифференциальная функция) равномерного распределения

Плотность вероятности равномерного распределения имеет вид:

где а и Ь - параметры закона, определяющие пределы изменения случайной величины X.

Закону равномерного распределения подчиняются, в частности, погрешности от трения в опорах приборов, неисключенные остатки систематических погрешностей, погрешности дискретности в цифровых приборах, погрешности размеров в пределах одной группы сортировки при селективной сборке, погрешности параметров изделий, отобранных в более узких пределах, по сравнению с технологическим допуском, суммарная погрешность обработки, вызван-

Интеграл

носит название нормированной функции Лапласа, а его значения для х - X различных / = --табулированы. Значение нормированной функции Лапласа Ф(/) с погрешностью менее Ю"5 можно определить по формуле

Если / >0, Ф(/) = 7", а если / < 0, то Ф(/) = 1-7". Функция Лапласа нечетная, т. е.

Для отрицательных значений /табличные данные берутся со знаком минус.

Вероятность того, что случайная величина, подчиняющаяся закону нормального распределения, при измерениях примет значение в пределах (х,, х,), можно записать через Ф(/) следующим образом:

У теоретической кривой нормального распределения ветви ее асимптотически приближаются к оси абсцисс, т. е. зона рассеивания случайной величины х лежит в пределах ±оо. Практически зона рассеивания случайной величины х ограничена конечными пределами.

Например, вероятность того, что случайная величина будет находиться в пределах

линейным изменением во времени доминирующего фактора (износ режущего инструмента, температурная деформация и т. д.), погрешности, возникающие за счет округления величин, полученных при измерении на приборах, и др.

Функция распределения F(x) равномерного распределения (интегральная функция распределения) выражается следующим уравнением для (а < х < Ь):

Вид функции распределения показан на рис. 5.10.

Математическое ожидание Л/(х), дисперсия 0(х) и среднее квадратичное отклонение (а) случайной величины, подчиняющейся равномерному распределению, соответственно равны:

Практически предельное поле рассеивания со при равномерном распределении равно Ь - а или с учетом (5.48), т. е.

со = Ь - а = 2т/Зет .

Рис. 5.10. График интегральной функции равномерного распределения

Рис. 5.11. Плотность вероятности закона Симпсона

Закон Симпсона

Вид кривой треугольного распределения показан на рис. 5.11. Плотность вероятности имеет вид:

По этому закону распределены, например, погрешности суммы (разности) двух равномерно распределенных величин. Если, например, отклонения размеров отверстия и вала распределены в пределах полей допусков равномерно, а допуски вала и отверстия примерно одинаковые, то зазоры в пределах допуска зазора будут распределены по закону треугольника. Плотность вероятности зазоров при этом будет иметь следующий вид:

где 5т(п, 5^ - соответственно минимальное и максимальное значения зазора в соединении; .$т = ^"^^"ла _ среднее значение зазора в соединении; /Г5 = 5т1п - допуск зазора; л - текущее значение зазора.

Функция распределения закона Симпсона имеет вид:

Графическое представление интегральной функции распределения приведено на рис. 5.12.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение случайной величины, подчиняющейся закону Симпсона, соответственно равны:

Практически предельное поле рассеивания сопри распределении случайной величины по закону Симпсона равно 2/, т. е.

Рис. 5.12. Функция распределения закона Симпсона