Электрический дипольный момент. Потенциал и напряженность поля электрического диполя в электростатике. Энергия электрического диполя во внешнем электрическом поле

Рассмотрим систему двух точечных электрических зарядов и , произвольным образом расположенных в пространстве на расстоянии друг от друга. Такую систему зарядов назовем

Рис. 2.1. Электрический диполь

Из точки расположения отрицательного заряда в точку расположения положительного заряда проведем вектор (Рис. 2.1). Электрическим моментом диполя (дипольным моментом) назовем физическую величину

(2.1)

Электрический диполь создает вокруг себя электрическое поле,которое нетрудно рассчитать с использованием принципа суперпозиции. Однако на расстояниях, значительно превышающих размер диполя, электростатическое поле обладает некоторыми характерными свойствами, представляющими интерес для дальнейшего изложения предмета.

Рис. 2.2. Поле электрического диполя

Рассмотрим физическую ситуацию, изображенную на рис. 2.2. Здесь - точка наблюдении.

Рассчитаем значение потенциала электростатического поля в точке наблюдения в предположении, что потенциал бесконечно удаленной точки пространства равен нулю и . Ниже под величинами будем понимать модули соответствующих векторов. Точное выражение для потенциала в точке имеет вид:

 

. (2.2)
Векторы и связанны между собой зависимостью , (2.3)

что позволяет переписать выражение (2.2) в форме:

. (2.4)

В полученном выражении опустим член как малую величину и опустим индекс "+" у модуля соответствующего вектора:

С учетом обозначения (2.1) получаем:

, (2.5)

где - угол между вектором и направлением на точку наблюдения . Заметим, что если сравнивать между собой потенциал поля точечного заряда и потенциал поля диполя, легко увидеть, что потенциал поля диполя убывает с расстоянием быстрее, чем потенциал поля точечного заряда.

Напряженность электростатического поля в точке наблюдения можно было бы вычислить, используя зависимость , но вычисление градиента скалярного произведения требует привлечения довольно громоздкой формулы векторного анализа, поэтому используем прямое вычисление:

 

. (2.6)

Аналогично предыдущему воспользуемся тем обстоятельством, что :

 

Упрощение последнего выражения с учетом малости приводит к соотношению:

 

(2.7)

где , имеет то же значение, что и выше. Если ограничиться направлением, перпендикулярным направлению дипольного момента ( ), то становится очевидным, что величина напряженности электрического поля диполя в дальней зоне убывает с расстоянием быстрее, чем убывает величина напряженности поля, образованного одиночным точечным зарядом.

 

Энергия точечного заряда q во внешнем электрическом поле согласно (1.18) равна Wp=qj, где j – потенциал поля в точке нахождения заряда q. Для диполя – системы двух точечных зарядов – энергия во внешнем поле равна:Wp = q+j+ + q–j– = q(j+ – j–), где j+ и j– – потенциалы электрического поля в точках расположения зарядов +q и –q. Потенциал однородного поля убывает линейно в направлении вектора . С точностью до величины второго порядка малости можно записать.Из этой формулы следует, что минимальную энергию диполь имеет в положении (положение устойчивого равновесия)

 

 

22.Магнитный дипольный момент. Векторный потенциал и напряженность поля магнитного диполя в статике. Энергия магнитного диполя во внешнем магнитном поле.

Пусть в некотором конечном объеме безграничного пространства текут электрические токи с объемной плотностью . Предположим, что для рассматриваемого объема выполнено условие

 

(4.1)

Введем в рассмотрение величину

 

(4.2)

которую назовем магнитным моментом системы токов в объеме . В определении (4.2) - радиус-вектор элемента тока . Можно проверить, что величина (4.2) характеризует систему токов в объеме и не зависит от выбора положения начала координат системы отсчета. Действительно, если

 

то

 

Учитывая условие (4.1), убеждаемся, что

 

.

Если ток течет по тонкому проводнику, имеет место очевидная замена при этом направление тока считается положительным, если оно совпадает с направлением ориентированного отрезка контура . В этом случае

 

, (4.3)

если выполнено условие

 

. (4.4)

В простейшем случае замкнутого контура величина постоянна для всех элементов рассматриваемого контура, что приводит к соотношениям:

 

. (4.5)
Рис. 4.1. К определению дипольного момента контура с током

Заметим, что второе из соотношений (4.5) - формальное требование замкнутости контура.

Векторное произведение в первом из соотношений (4.5) можно преобразовать:

 

,

где - ориентированный элемент площади треугольника, образованного векторами и . С учетом этого преобразования получаем:

 

. (4.6)

Допустим, что на рассматриваемый контур с током "натянута" поверхность , для которой выполнены известные условия непрерывности и гладкости. Боковая поверхность конуса , составленная из элементов поверхности и поверхность в совокупности образуют замкнутую поверхность, для которой

 

. (4.7)

Заметим, что выражение (4.7) справедливо, если нормаль к поверхности направлена внутрь конического тела.

Из соотношения (4.7) следует:

 

,

а если сменить направление нормали к элементу поверхности на противоположное, то получим

.

Таким образом, магнитный момент пространственного (не лежащего целиком в какой-либо плоскости) замкнутого контура с током определен соотношением:

 

. (4.8)

Следует заметить, что в рассмотренном построении естественным образом возникло правило согласования между собой положительного направления обхода контура (направление ) и направления нормали к элементам поверхности, натянутой на этот контур.

Если замкнутый контур с током является плоским, тогда вектор нормали к плоской поверхности сохраняет одно и то же направление для всех элементов плоской поверхности, величину можно вынести из под знака интеграла (4.8), а оставшееся выражение проинтегрировать:

 

(4.9)

Заметим, что для плоского контура справедливы формулы и (4.8) и (4.9),

 

 


?>