Поля H и E для дипольного и магнито-дипольного излучений ( используя соответствующие формулы мультипольного разложения для векторного потенциала)

Дипольное излучение – излучение, обусловленное изменением во времени дипольного момента системы. Различают электрическое и магнитное дипольное излучение в зависимости от того, вызывается ли оно изменением электрических р_е или магнитных р_m дипольных моментов.
Классическая теория. Произвольное распределение неподвижных или движущихся зарядов ρ и тока j, удовлетворяющих уравнению непрерывности:

Поле, создаваемое такими источниками вне области их размещения, описывается как совокупность полей (мультиполей): монополя (заряда), диполя, квадруполя и т. д. однако такое описание продуктивно только тогда, когда размер l области, содержащей источники, мал по сравнению с длиной волны излучения λ=2π/k=2πc/ω; l<<λ. Это ограничивает скорости u движения зарядов нерелятивистскими значениями, u<<c. Дипольное излучение из таких областей можно представить как излучение сосредоточенного (точечного) дипольного момента – электрического, соответствовавшего источникам

и магнитного, соответствующего токам

Здесь δ(r) – дельта-функция Дирака, а точка – знак дифференцирования по времени. Поле излучения создается только соленоидальными частями этих распределений, потенциальной части ответственны лишь за квазистатические поля.
На больших расстояниях R от области источников, R>>λ>>l, т. е. в волновой зоне, электрическое Е и магнитное Н поля в вакууме выражают следующими формулами:

(*)

Здесь n – единичный вектор вдоль R, запаздывающий аргумент t – R/c учитывает разницу между моментом возникновения волнового возмущения в точке источника и моментом прихода его в точку наблюдения. Поле магнитного дипольного излучения получают отсюда при помощи двойственности перестановочной принципа (Е→Н, Н→ − Е, p_e→p_m). Электромагнитное поле (*) представляет собой сферически расходящуюся волну с векторами Е и Н, перпендикулярными направлению ее распространения, т. е. вдали от источников – это квазиплоские волны типа ТЕМ.

Дипольное, квадрупольное и магнито-дипольное излучение.

Дальнейшее разложение подинтегрального выражения в уравнении

Разложение по приводит к последовательным членам разложения. Обозначим .

Нулевой порядок по дает дипольное излучение:

Первый порядок по дает квадрупольное и магнитодипольное излучение: