Полный дифференциал функции нескольких переменных
Определение. Полным приращением функции 
в точке М(х;у) называется разность 
, где 
и 
произвольные приращения аргументов.
Определение. Функция 
называется дифференцируемойв точке М(х;у), если в этой точке полное приращение можно представить в виде 
.
Определение. Полным дифференциалом функции 
называется главная часть полного приращения 
, линейная относительно приращений аргументов и , то есть 
Полный дифференциал функции вычисляется по формуле:
.
Для функции трех переменных
При достаточно малом 
для дифференцируемой функции справедливы приближенные равенства 
, которые применяются для приближенного вычисления значения функции:
Примеры
а) Вычислить приближенное значение функции 
в точке М(2,15; 1,25) с помощью полного дифференциала. Ответ сравнить с вычислением на калькуляторе.
Решение.
Используем формулу: 
1.Выберем точку с целыми координатами, ближайшую к М - М0(2;1).
Тогда: 
2. Найдем значение функции в точке М0
3. Вычислим частные производные данной функции и найдем их значения в точке М0
4. Вычислим полный дифференциал и данной функции в точке М0
5. Найдем значение функции в точке М:
6. С помощью калькулятора вычислим точное значение функции в данной точке:
б) С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. 
Решение:
1.Введем функцию 
Тогда: 
2. Найдем значение функции в точке (х0;у0)
3. Вычислим частные производные данной функции и найдем их значения в точке (х0;у0)
4. Вычислим полный дифференциал и данной функции в точке (х0;у0)
5. Таким образом, приближенное значение данного выражения:
6. Значение, вычисленное с помощью микрокалькулятора: 2,007045533