Производная показательной функции
Вывод формулы производной приведем на основе определения:
Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную 
, причем 
при 
. Тогда 
.
В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.
Выполним подстановку в исходный предел: 
Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:
Производная логарифмической функции.
Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем: 
Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство 
справедливо в силу второго замечательного предела.