II. Графическое представление результатов измерений
В ряде случаев для большей наглядности, экспериментальные данные целесообразно представлять графически в виде точек или линий. Такие графики позволяют быстро распознать характер исследуемых зависимостей, а в ряде случаев позволяют даже установить вид исследуемых зависимостей.
Приведем общие рекомендации для построения графиков.
1.Для графиков используется миллиметровая бумага с линейным масштабом.
2. Масштаб для построения графиков выбирается исходя из следующих соображений:
а) экспериментальные точки не должны сливаться
б) графики, близкие к прямым линиях, должны располагаться, примерно, под углом
45 градусов к осям координат
в) следует использовать либо десятичный масштаб (0,1; 1;10;100 и т.д. единиц
измеряемой величины в 1 см.), либо масштабы 2:1 или 5:1.
г) начало координат (X = 0 ,Y= 0) не обязательно должно присутствовать на графике.
д) снизу или справа от оси абсцисс, слева или сверху от оси ординат следует указать
название или (и) обозначение физической величины и через запятую- единицу
измерения, относя сюда и возможный десятичный множитель. Благодаря последнему,
масштабные деления на осях помечаются, как правило, не более чем трехзначными
числами.
3. При построении графиков следует придерживаться следующих правил:
а) первоначальную разметку масштаба и нанесение экспериментальных точек выполнять
мягким карандашом и лишь окончательно чернилами.
б) если на одном графике необходимо сравнить несколько экспериментальных
зависимостей, то следует пользоваться разными обозначениями для точек,
относящихся к разным величинам (например, 
и т.д.) можно использовать так
же разные цвета.
в) при сравнении экспериментальной и теоретической зависимостей теоретическую
кривую следует построить по произвольно выбранным точкам, а экспериментальную
кривую лучше не строить, указать отрезками при каждой точке величины
погрешностей.
г) не соединять экспериментальные точки ломаной линией. Наилучшую плавную кривую
следует провести с помощью лекал.
д) наиболее удобны для зрительного восприятия прямолинейные графики. Поэтому, если
есть возможность, следует преобразовать исследуемую зависимость в линейную и
изображать на графике зависимость между теми величинами, между которыми связь
линейная. Например, экспоненциальные зависимости 
или логарифмические
удобно представлять в полулогарифмических координатах, а степенные -
в логарифмических координатах.
Необходимо хорошо представлять себе, что физические формулы записываются не для физических величин, а для их численных значений. Другими словами, эти формулы представляют собой численные равенства.
Согласно Международному стандарту ИСО 31/0 (Общее положение к ИСО 31), аргументами показательных и логарифмических функций должны быть или безразмерные величины или числовые значения величин.
В качестве примера, рассмотрим представление экспериментальных данных, полученных в результате исследования зависимости вязкости крови от показателя гематокрита (данные взяты из монографии «Механика кровообращения» авт. К. Каро,
Т. Педли д.р.)
| Показатель гематокрита, H | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,0 |
| Вязкость крови, η [Па*с] | 0,028 | 0,080 | 0,229 | 0,653 | 1,867 | 5,336 | 15,250 | 43,579 |
| Ln(η) | -3,58 | -2,53 | -1,48 | -0,43 | 0,63 | 1,68 | 2,73 | 3,78 |
По оси абсцисс откладываем показатель гематокрита H, а по оси ординат соответствующую этим значениям вязкость крови.
Нанесенные точки указывают на криволинейную зависимость. График получается очень не наглядным, и сделать какие либо предположения о характере зависимости практически невозможно
Добавим нашу таблицу строкой Ln(η) и перестроим график в полулогарифмических координатах, откладывая по оси ординат не вязкость, а численное значение логарифма вязкости.
Экспериментальные точки теперь хорошо укладываются на прямую линию, что дает возможность предположить о наличии экспоненциальной зависимости коэффициента вязкости от показателя гематокрита.
η = η0 exp(αH).
Более того, по графику, экстраполируя прямую до пересечения с осью ординат можно определить вязкость при нулевом гематокрите, т.е. вязкость плазмы крови: η0 = 0,0012 Па*с Тангенс угла наклона прямой дает возможность определить показатель степени экспоненты
Окончательно имеем:
, Па*с η = 0,0012 exp(10,4H),Па*с
Пример 6
В той же монографии представлены данные зависимости коэффициента вязкости крови η от скорости сдвига 
| Скорость сдвига,
[1/c]
| 0.2 | 0.5 | ||||||
| Коэффициент вязкости, η [Па*с] | 57.7 | 38.3 | 27.4 | 14. | 10.1 | 3.7 | ||
| Ln ( )
| -1.609 | -0.693 | 1.609 | 2.303 | 3.912 | 4.605 | 6.215 | |
| Ln (η) | 4.055 | 3.645 | 3.311 | 2.639 | 2.313 | 1.609 | 1.308 | 0.693 |
Представим экспериментально полученные данные на графике
Опять получаем очень не наглядный график, и сделать какие либо предположения о характере зависимости практически невозможно.
Перестроим график в полулогарифмических координатах: η; Ln ( )
График становится более наглядным, однако сказать что- либо определенное о характере зависимости невозможно.
Перестоим график в логарифмических координатах Ln (η ) ; Ln ( )
Точки хорошо укладываются на прямую линию. Полученная линейная зависимость позволят предположить о степенной зависимости вязкости η от скорости сдвига .
Определяя из графика η0 = 27,1 [Па*с] и m = tg α = - 0,43
Окончательно получим:
, Па*с
III. Метод наименьших квадратов.
Очень часто, несмотря на просматриваемый линейный характер исследуемой зависимости, экспериментальные точки не укладываются на прямую, имея значительный разброс.
В этом случае, для обработки результатов экспериментальных данных применяют метод наименьших квадратов.
1.Предполагается, что величины х и y связаны линейной зависимостью.
однако коэффициенты 
и 
неизвестны.
2.Предполагается, что ошибка при измерении величины 
, значительно (по крайней мере,
на порядок) меньше ошибки при измерении величины y . Поэтому погрешностью в
измерении можно пренебречь.
З.Для определения и выполняем 
пар измерений
4.Если считать, что 
- точное значение, то ему должно соответствовать значение
yi ,равное 
; а в эксперименте получено другое значение yi , которое, вообще
говоря, не совпадает с 
. (см. график)
расстояние первой точки от предполагаемой прямой
расстояние второй точки от предполагаемой прямой
расстояние i -ой точки от предполагаемой прямой
……………………………………………………………………………….
расстояние n-ой точки от предполагаемой прямой
5.Согласно теории метода, значения a и b следует определять следующим образом.
Т.к. эти расстояния будут встречаться как с положительным, так и с отрицательным
знаком необходимо взять сумму квадратов этих расстояний
Это выражение по смыслу представляет собой сумму квадратов отклонений измеренных yi от истинных. В методе наименьших квадратов утверждается, что наилучшими оценками истинных значений коэффициентов и служат значения, обеспечивающее минимум величины 
(отсюда название метода). Должны выполняться условия:
и 
.
Найдем эти частные производные и приравняем их нулю.
1) 
2) 
Т.к. вторые производные больше 0, функция , при найденных
a и b, будет минимальна.
Из первого уравнения получаем
Из второго
или 
Отсюда 
(15)
Подставляя найденное в первое уравнение, получим:
(16)
На практике сначала находят коэффициент затем коэффициент .
Пример 7
Заданы 10 пар измеренных значений xi и yi
|
| 13.68 | 3.08 | 0.97 | 0.37 | 12.95 | 18.28 | 8.63 | 4.85 | 13.08 | 0.46 |
| 32.04 | -4.74 | -4.93 | -21.90 | 3.35 | 21.09 | -5.06 | 4.41 | 6.77 | -38.41 |
Наносим эти точки на график (см. рис.3). Точки имеют значительный разброс и «на глаз» провести усредняющую прямую невозможно.
Рис.3
Заполняем таблицу.
| № | 
| ||||||||||
|
| 13.68 | 3.08 | 0.97 | 0.37 | 12.95 | 18.28 | 8.63 | 4.85 | 13.08 | 0.46 | 76.35 |
|
| 32.04 | -4.74 | -4.93 | -21.90 | 3.35 | 21.09 | -5.06 | 4.41 | 6.77 | -38.41 | -7.38 |
| 187,14 | 9,49 | 0,94 | 0.14 | 167.76 | 334.26 | 74.55 | 23.54 | 171.09 | 0.21 | 968.87 |
| 438.26 | -14.61 | -4.78 | -8.14 | 43.35 | 385.50 | -43.71 | 21.39 | 88.60 | -17.55 | 888.33 |
Последний столбец таблицы используют для нахождения коэффициентов и по формулам (16) и (15). В нашем случае a = 2,45 b = -19,43
По найденным коэффициентам на графике по двум произвольно взятым значениям и 
строят прямую линию, y = 2,45 x – 19,43, которая является наилучшим усреднением экспериментальных точек.
Если зависимость между исследуемыми величинами нелинейная, то путем замены переменных ее можно преобразовать к линейной, после чего можно воспользоваться изложенным методом.
В качестве примера рассмотрим обработку экспериментальных данных при проведении лабораторной работы «Методы измерения температур».
В работе снимается зависимость сопротивления термистора r от температуры T, которая определяется с помощью термопары. Эта зависимость не линейная и имеет вид:
,
где: А - некоторая постоянная; U-энергия активации; T-абсолютна температура; к - постоянная Больцмана. Применить метод наименьших квадратов для обработки результатов сразу нельзя. Преобразуем эту зависимость в линейную. Логарифмируя левую и правую часть, получим:
Как видно, теперь существует линейная зависимость между 
и 
.
Полученные экспериментальные данные занесем в первые две строки таблицы.
Заполним оставшиеся строки таблицы.
| № |
| |||||||||
| r, кОм | 3.000 | 3.556 | 4.250 | 5.143 | 6.333 | 8.000 | 10.500 | 14.667 | 23.000 | -------- |
| T,K | 381.2 | 378.4 | 372.8 | 367.2 | 360.2 | 350.4 | 342.0 | 332.2 | 319.6 | -------- |
| 1/T *10 3 ,1/K | 2.623 | 2.643 | 2.682 | 2.723 | 2.776 | 2.854 | 2.924 | 3.010 | 3.129 | 25.365 |
| Ln(r) | 1.099 | 1.269 | 1.447 | 1.638 | 1.846 | 2.079 | 2.351 | 2.686 | 3.135 | 17.549 |
| (1/T*10 3) 2 ,1/K 2 | 6.882 | 6.984 | 7.195 | 7.416 | 7.707 | 8.145 | 8.550 | 9.062 | 9.790 | 71.731 |
| Ln(r)* 1/T *10 3 | 2.882 | 3.352 | 3.881 | 4.460 | 5.124 | 5.934 | 6.875 | 8.084 | 9.811 | 50.404 |
Данные, представленные в 4 и 5 строках таблицы нанесем на график. Точки имеют некоторый разброс, но так как зависимость теперь линейная, можно применить метод наименьших квадратов.
Заполняем 6 и 7 строки таблицы и рассчитываем коэффициенты a и b
По найденным коэффициентам проводим прямую, усредняющую экспериментальные точки.
