Общая схема исследования функции и построения графика
Исследование функции целесообразно вести в определенной последовательности.
1. Найти область определения функции.
2. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида.
3. Найти вертикальные асимптоты графика функции.
4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты.
5. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции.
6. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба.
7. Найти точки пересечения с осями координат.
8. Построить график функции.
Пример. Проведите исследование функции 
и постройте ее график.
По плану исследуем функцию 
1. Область определения D(f) – вся числовая ось, за исключением точек х = –2 и х = 2, т.е.
D(f) = (-¥; -2) È (-2; 2) È (2; +¥).
2. Функция непериодическая; исследуем ее на четность и нечетность: область определения симметрична относительно начала координат,
.
Следовательно, данная функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому далее исследуем функцию только при х ³ 0.
3. Определим вертикальные асимптоты функции:
,
т.е. прямая х = 2 – вертикальная асимптота. Отсюда в силу симметрии, следует, что прямая х = – 2 – также вертикальная асимптота.
4. Найдем наклонные асимптоты:
т.е. прямая у = – х – наклонная асимптота при х ® +¥ (то же и при х ® –¥ ).
5. Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции, исследуя первую производную:
.
Приравняв производную к нулю, определим критические точки: х = 
и х = – 
.
– 
|
| –2 |
|
|
| + |
| + |
| + |
| – |
| – |
| f '(x) |
| f (x) |
| min |
| max |
Отсюда видно, что функция имеет минимум в точке х = – 
(причем f(– 
) »5,2) и максимум в точке х = 
(причем f( 
) » –5,2). Возрастает на интервалах (- 
; -2) È (-2; 2) È (2; 
) и убывает на интервалах (-¥; - 
) È ( 
; +¥).
6. Чтобы определить интервалы выпуклости и точки перегиба, вычислим вторую производную функции:
.
Данное выражение обращается в нуль лишь при х = 0.
| f ¢¢(x) |
| х |
| – |
| + |
| –2 |
| – |
| + |
| перегиб |
Отсюда ясно, что на интервалах (-¥; -2) и (0; 2) функция выпукла вниз, а на интервалах (-2; 0) и (2; +¥) выпукла вверх, т.е. х = 0 – точка перегиба.
7. Найдем точки пересечения графика с осями координат: с осью Оу график пересекается при х = 0, откуда у = f(0) = 0, т.е. точка пересечения с осью Оу М(0;0) – единственная точка пересечения графика с осями.
Учитывая накопленную информацию, построим график функции.
Вариант 1
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
3.Вычислите производную 
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
при 
.
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 2
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
при 
.
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 3
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
при 
.
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 4
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
при 
.
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 5
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
при 
.
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 6
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
при 
.
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 7
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
при 
.
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 8
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
при 
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 9
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
при 
.
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 10
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
.
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 11
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
при 
.
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 12
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
при 
.
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 13
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
при 
.
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 14
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 15
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
при 
.
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 16
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
при 
.
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 17
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
при 
.
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 18
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
при 
. .
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 19
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
при 
.
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 20
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
при 
.
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 21
1.Вычислите производную 
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
при 
.
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 22
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 23
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения 
при 
.
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 24
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
при 
.
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Вариант 25
1.Вычислите производную 
.
2.Вычислите производную 
.
3.Вычислите производную 
.
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
при 
.
5.Исследуйте функцию 
и постройте ее график.