ЗАДАНИЕ 3
ЗАДАНИЕ 4. Найти точки перегиба функции:
1. 
| 2. 
| 3. 
|
4. 
| 5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
| 9. 
|
10. 
| 11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
| 15. 
|
16. 
| ||
| 17.
| 18.
| 19.
|
| 20.
| 21.
| 22.
|
| 23.
| 24.
| 25.
|
| 26.
| 27.
| 28.
|
| 29.
| 30.
|
ЗАДАНИЕ 5. Найти асимптоты графика функции:
1. 
| 2. 
| 3. 
|
4. 
| 5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
| 9. 
|
10. 
| 11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
| 15. 
|
16. 
| ||
| 17.
| 18.
| 19.
|
| 20.
| 21.
| 22.
|
| 23.
| 24.
| 25.
|
| 26.
| 27.
| 28.
|
| 29.
| 30.
|
ЗАДАНИЕ 6. Исследовать функцию и построить ее график:
1. 
| 2. 
| 3. 
| 4.
|
| 5.
| 6.
| 7.
| 8.
|
9. 
| 10. 
| 11.
| 12.
|
| 13.
| 14.
| 15. 
| 16. 
|
| 17.
| 18.
| 19.
| 20.
|
| 21.
| 22.
| 23.
| 24.
|
| 25.
| 26.
| 27.
| 28.
|
| 29.
| 30.
|
Образец выполнения контрольной работы
“Приложение ПРОИЗВОДНОЙ”
1) Исследовать на экстремум функцию 
.
Решение. Найдем точки, подозрительные на экстремум. Для этого возьмем производную 
и приравняем ее нулю.
при 
.
|
Рисунок 1
На тех интервалах, где 
, функция убывает; где 
, функция возрастает. Поэтому интервалы возрастания функции 
и 
, интервалы убывания функции: 
и 
.
По рисунку 1 видно, что в точках 
и 
функция принимает свои минимальные значения, а при 
– максимальное. Найдем эти значения:
Ответ: 
.
2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
.
Решение.Так как свои наименьшее и наибольшее значения непрерывная на отрезке функция может принимать либо на концах этого отрезка, либо в точках экстремума, входящих в этот отрезок, то находим значения исследуемой функции во всех этих точках и среди них выбираем наибольшее и наименьшее значения:
при 
,
,
Найдем значение функции только при 
. Так как 
, то
.
Выбираем наибольшее значение функции из найденных трех чисел – это 10. Теперь наименьшее – это 3.
Ответ: 
3) Найти точки перегиба функции 
.
Решение.Так как точками перегиба являются те точки из области допустимых значений, где вторая производная 
меняет знак, сначала найдем , затем и приравняем к нулю:
при 
, т. к. 
для всех 
.
|
|
изменила знак, то функция 
4) Найти асимптоты графика 
.
Так как вертикальную асимптоту имеет функция с разрывом 2-го рода в точке 
, сначала найдем точки разрыва и исследуем поведение функции в их окрестностях.
О.Д.З. 
Значит, 
– точка разрыва, так как функция в этой точке не определена. Найдем предел слева и предел справа функции при подходе к точке . Выясним, разрыв какого рода терпит данная функция в этой точке.
. Предел слева равен 
.
. Предел слева равен 
.
Так как односторонние пределы бесконечны, то в точке разрыв 2-го рода, поэтому уравнением вертикальной асимптоты будет .
Функция также может иметь или не иметь наклонные асимптоты. Если они есть, то их уравнение запишем в виде 
,
где 
.
Найдем правую наклонную асимптоту при 
.
Применяем правило Лопиталя:
Применяем правило Лопиталя: 
|
и получаем уравнение правой асимптоты 
Найдем левую асимптоту при 
(рис. 3)
Ответ: Вертикальная асимптота 
.
у
-2
-2 -1 1 х
-2 -
Рисунок 3
5) Исследовать функцию 
и построить ее график.
Исследование функции будем проводить по плану.
1. Найдем О.Д.З. и, если есть асимптоты О.Д.З. , – любое. Следовательно, нет точек разрыва, поэтому вертикальных асимптот нет.
2. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат, исследуем функцию на четность, тригонометрические функции – на периодичность. Пусть , тогда 
. Проверим четность функции:
.
Значит, данная функция нечетная, и ее график симметричен относительно начала координат.
3. Исследуем монотонность функции с помощью .
.
|
|
при
 |
+ +
0 х
Рисунок 4
4. С помощью находим точки перегиба.
при 
и 
.
 |
Все точки, в которых , являются точками перегиба, так как в них меняет знак на противоположный (рис. 5).
Найдем значения функции в этих точках:
.
5. Найдем наклонные асимптоты, если они есть: .
Сначала , тогда 
По правилу Лопиталя: 
Теперь найдем 
Получаем 
– уравнение правой асимптоты. Повторяя прежние рассуждения уже при 
, получим уравнение левой асимптоты: .
6. Строим график функции, начертив сначала все асимптоты, отметив точки экстремума, точки перегиба и точки пересечения с осями координат (рис. 6).
