Вычисление производных

Большое внимание в тестах уделяется вычислению производных. Вычисление производных осуществляется согласно правилам и формулам. Обратим внимание на функции вида:

у = , .

у = , .

у = , .

Сравнивая данную функцию и ее производную, приходим к выводу: чтобы найти производную данной функции, нужно числитель умножить на показатель степени знаменателя с противоположным знаком, а показатель степени увеличить на единицу. Принятие во внимание этого факта поможет сэкономить время при вычислении производных такого вида на ЕНТ:

Тест1

1. Для функции у = , определите:

а) нули;

б) промежутки возрастания;

в) промежутки убывания.

Указание: = +

А) а) -4, 4; б) ( ); в) нет.

В) а) -4, 4; б) ( ); в) нет.

С) а) -4, 0; б) ( ); в) нет.

D) а) -4, 4; б) ( ); в) [-4, 4].

Е) а) -4, 0, 4; б) );

в) ( ].

 

2. Дана функция f(x) = . Найдите .

А) 0. В) -3. С) 5. D) 1. Е) 6.

 

3. Для функции у = , определите:

а) нули;

б) промежутки возрастания;

в) промежутки убывания.

 

 

А) а) -3, 3; б)нет; в) ( ).

В) а) -3, 3; б) ( ; в) [0, ).

С) а) -3, 3; б)нет; в) ( ).

D) а) -3, 0, 3; б)[-3, 0], [3, ); в) ( ).

Е) а) 3, -3; б) [3, 1], [-3, 0]; в) (0, -3], [0, 3].

 

4. Для функции у = , найдите:

а) все критические точки;

б) точки минимума и точки максимума;

 

А) а) ; б) , , .

В) а) ; б) , .

С) а) ; б) ,

D) а) ; б) , .

Е) а) ; б) ,

 

Производная сложной функции.

Очень часто при вычислении производных сложных функций учащиеся допускают ошибки. Находя производную функции y = lg(3x + 5), забывают умножить результат на 3. Почему? Просто многие из них не владеют понятием сложной функции. Поэтому при вычислении производных необходима последовательность рассуждений:

1. Определить вид функции (линейная, квадратичная, логарифмическая, степенная и т.д.)

2. Если – да, то ее производная берется согласно известным формулам.

3. Если – нет, то можно ли данную функцию представить в виде суммы (разности), произведения или частного указанных функций.

4. Если – да, то работаем с соответствующими формулами.

5. Если – нет, то надо рассматривать данную функцию как сложную.

Например:

Найти производную функции у = (2х – 4) .

Последовательно рассуждая, приходим к выводу, что данная функция сложная: степенная от линейной. Значит, ее производная равна произведению производной степенной и линейной функций 10(2х – 4).

Аналогичные примеры можно найти в следующих тестовых заданиях:

Тест 2.

1. Дана функция f(x) = . Найдите .

Решение:

А) -42(4х + 7) .

В) -6(4х + 7) .

С) -4(4х + 7) .

D) -24(4х + 7) .

Е) -4(4х + 7) .

2. Найдите производную функции у = (1/3 х – 6) .

А) 8(1/3х – 6) .

В) 6(1/3х – 6) .

С) 24(1/3х – 6) .

D) 1/3(1/3х – 6) .

Е) 72(1/3х – 6) .

3. Дано f(x) = . Найдите .

А) -10. В) 10. С) -60. D) 6. Е) 60.

4. Найдите производную функции: f(x) = .

А) . В) . С) . D) . Е) .

5. Найдите производную функции: f(x) = (2x – 6) .

А) -7(2x – 6) . В) 16(2x – 6) . С) -7(2x + 6) . D) 4(2x – 6) . Е) 8(2x – 6) .

6. Дана функция , найдите

А) .

В) .

С) .

D) .

Е) .

 

 

7. Найдите производную функции: f(x) = .

А) 102x( .

В) 204 .

С) 102 .

D) 2x .

Е) 204 .

8. Найдите производную функции: f(x) = .

А) .

В) .

С) .

D) .

Е) .

9. Найдите производную функции: y = .

А) .

В) .

С) .

D) .

Е) .