Релятивистская динамика
Закон для силы остается прежним:
Изменяется выражение для импульса:
В этом выражении масса тела m является переменной величиной и зависит от скорости. Такую массу называют релятивисткой массой. А массу неподвижной частицы m0 называют массой покоя.
Все чаще используется также следующая трактовка выражения для импульса. Масса частицы остается постоянной и равной массе покоя, а изменяется ход времени в системе отсчета, связанной с движущейся частицей:
, где dt - промежуток собственного времени частицы (отсчитываемого по часам, движущимся в месте с частицей), соответствующий перемещению dr.
Актуальным является вопрос - что будет, если на тело неограниченно долго действует постоянная сила с точки зрения неподвижного наблюдателя? В механике Ньютона скорость тела будет равномерно нарастать и может при этом превысить скорость света. В релятивистской механике равномерно нарастает полная величина импульса. Однако, когда скорость тела приблизится к скорости света, рост импульса происходит не за счет увеличения скорости, которая практически насыщается, а за счет безграничного увеличения массы тела (или допустимо считать, что масса тела остается постоянной, а безгранично замедляется собственное время движущегося тела).
При не слишком больших скоростях можно разложить в ряд (по формуле бинома Ньютона) выражение для релятивистской массы и ограничиться первыми двумя членами ряда:
Во втором слагаемом последнего выражения можно узнать кинетическую энергию тела, деленную на квадрат скорости света. Можно записать:
Эйнштейн осмыслил это уравнение, как выражение для энергии тела:
mc2 - полная энергия тела;
m0c2 - энергия покоящегося тела;
- обычная кинетическая энергия тела.
Предположение Эйнштейна о том, что энергия тела всегда равна mc2, согласуется с формулой для релятивистской массы. Действительно, из основного уравнения динамики следует, что скорость изменения энергии тела (т.е. мощность) равняется произведению силы на скорость
Отсюда:
Мы хотим решить это уравнение относительно m. Для этого помножим обе части на 2m:
Константу интегрирования С находим из начального условия:
В результате уравнение приобретает вид:
Выражаем в явном виде m:
Эта формула для релятивистской массы необходима для того, чтобы полная энергия тела была эквивалентна массе и выражалась как mc2.
Вывод об эквивалентности массы и энергии прекрасно подтвердился в опытах по аннигиляции материи - превращению вещества в энергию. Электрон с позитроном могут взаимодействовать в покое, имея каждый массу покоя m0. При сближении они исчезают, а вместо них излучаются два g-луча, каждый опять с энергией m0c2. Этот опыт прямо сообщает нам о величине энергии, связанной с существованием массы покоя у частицы.