Приведение подобных слагаемых

1.1. Анализ преобразования

Рассмотрим уравнение вида . Его область определения D задают выражения , и g(x). Переход к уравнению может расширить множество D, так как слагаемое не будет оказывать влияния на область определения полученного уравнения. Следовательно, возможны посторонние корни, которые устраняются проверкой их принадлежности области определения данного уравнения, либо непосредственной подстановкой в него.

Таким образом, уравнение с областью определения D равносильно системе

Рассмотрим ряд примеров.

Пример 1. Решить уравнение

Область определения данного уравнения Выполним тождественные преобразования дроби , не меняющие области определения данного уравнения. Получим уравнение , равносильное данному при Следующее преобразование (приведение подобных слагаемых) может нарушить равносильность за счёт расширения области определения данного уравнения, поэтому перейдём к системе решая которую, найдём корень

Ответ: 3.

Пример 2. Решить уравнение

Преобразуя левую часть данного уравнения в области его определения , получим .

В результате данное уравнение примет вид Приведение подобных слагаемых расширило область определения, что может привести к появлению посторонних корней. Следовательно, данное уравнение равносильно системе решение системы, а значит и данного уравнения. Ответ: 7.

Пример 3. Решить уравнение .

Область определения данного уравнения . В результате тождественных преобразований получим уравнение , равносильное данному при . «Исчезновение» слагаемого приведёт к уравнению с расширенной по сравнению с D областью определения. Следовательно, данное уравнение равносильно системе решая которую, получим - решение системы.

Ответ: -3.

Пример 4. Решить уравнение

Выполним тождественное преобразование, не меняющие область определения D данного уравнения: разделим дробь на cos²x почленно. Получим уравнения , , равносильные данному на множестве D. Уничтожение одинаковых слагаемых в левой и правой частях последнего уравнения расширит область определения D, что может привести к нарушению равносильности за счёт появления посторонних корней. Следовательно, последнее (и данное) уравнение равносильно системе Ответ: