Метод областей 1 страница
3. Решите уравнение .
Решение. На плоскости построим множество точек, удовлетворяющих исходному уравнению.
Для построения множества точек проделаем следующее.
1. Приравняем нулю выражения, стоящие под знаком модуля: и
. Откуда следует:
и
.
На плоскости построим прямые
и
. Эти прямые разобьют плоскость
на 4 области.
2. Рассмотрим исходное уравнение в каждой области. Для этого надо раскрыть модули в каждой области.
Замечание. При раскрытии модулей надо учитывать знак выражения, стоящего под модулем в соответствующей области. Так как знак в каждой области постоянный, то знак выражения в области совпадает со знаком выражения в любой точке этой области.
1) В области I исходное уравнение равносильно системе
В области I строим часть прямой , которая параллельна прямой
и пересекает прямую
в точке А(–1; 3,5).
2) В области II исходное уравнение равносильно системе
В области II строим часть прямой , которая параллельна оси абсцисс и пересекает прямые
и
соответственно в точках А(–1; 3,5) и В(–3,5; 3,5).
3) В области III исходное уравнение равносильно системе
В области III строим часть прямой
, которая параллельна оси ординат и пересекает прямую
в точке В(–3,5; 3,5).
4) В области IV исходное уравнение равносильно системе
Ни одна точка не удовлетворяет последней системе.
График исходного уравнения изображён на рисунке 9 (графиком исходного уравнения является совокупность части прямых: ,
,
). Для того чтобы найти решения исходного уравнения при каждом значении параметра
, надо провести прямые
(если прямая
пересекает график исходного уравнения в n точках,тоисходное уравнение при
имеет n решений) и найти абсциссы точек пересечения графиков исходного уравнения и прямой
. Из рисунка 9 следует ответ.
Ответ. При уравнение не имеет решений; при
решением уравнении являются
(уравнение имеет бесконечное множество решений); при
уравнение имеет два решения
,
4. Сколько решений в зависимости от параметра а имеетуравнение на отрезке
?
Метод интервалов.
Решение.1. Если то уравнение на отрезке
не имеет решений, так как оно принимает вид
2. Пусть
Имеем .
Замечание. Если пара удовлетворяет уравнению, то и пара
также удовлетворяет этому уравнению.
Из замечания и 1. следует: уравнение надо рассмотреть при
Если , то исходное уравнение равносильно уравнению
, где
и
(4.1)
Раскрывая модули, на отрезке заменим уравнение (4.1) равносильной совокупностью уравнений
2) Рассмотрим первое уравнение совокупности (4.2), если
Так как то
, а тогда
Решением уравнения (4.1), а значит и исходного уравнения, на отрезке является
, если
Итак, если , то
является решением уравнения (4.1), а значит и исходного уравнения на отрезке
.
3) Рассмотрим второе уравнение совокупности (4.2), если
а) Если то легко проверить, что уравнение
, а значит и исходное уравнение, не имеет решений.
б) Пусть Тогда
Решением уравнения (4.1), а значит и исходного уравнения, на
промежутке при
является
, если
Итак, если , то
является решением уравнения (4.1), а значит и исходного уравнения на промежутке
.
Из 1. и 2. с учётом замечания следует ответ.
Ответ. Если , то нет решений; если
, то одно решение; если
, то два решения.
Метод областей.
Решение. На плоскости построим множество точек, удовлетворяющих уравнению
, где
и
(4.3).
Уравнение (4.3) равносильно совокупности (см. первый метод)
(4.2)
Легко проверить, что не удовлетворяет исходному уравнению. Поэтому рассмотрим первое уравнение совокупности (4.2) при
. Имеем
На отрезке
строим часть гиперболы
, асимптотой которой является прямая
. Гипербола пересекает прямую
в точке А
.2. Второе уравнение совокупности (4.2) равносильно системе
На промежутке строим часть гиперболы
, асимптотой которой является прямая
. Гипербола пересекает пря-
мую в точке В
.
График уравнения (4.3) изображён на рисунке 10.
Из рисунка 10 для и замечания следует ответ.
Ответ. Если , то нет решений; если
, то одно решение; если
, то два решения.
Графический метод.
Решение. Если , то исходное уравнение равносильно уравнению (4.3)
Рассмотрим функции ,
где
и
.
1. Графиком функции , где
, является часть прямой, проходящей через точки А(–3; 2) и В(5; 10).
2. Графиком семейства функций является «подвижный уголок» с неподвижной вершиной в точке С(–1; 0) и подвижными сторонами
3. Найдём при каких значениях параметра а график функции проходит через точку А(–3; 2) и определим сколько решений имеет исходное уравнение в этом случае.
а) График функции
проходит через точку А(–3; 2), если
б) Если , то функция
принимает вид
и на отрезке
имеем
в) Так как прямая
параллельна прямой
, а прямая
пересекает прямую
в точке А(–3; 2), то график функции
на отрезке
пересекает прямую
в одной точке А(–3; 2) (рис.11). Тогда исходное уравнение при
имеет единственное решение.
4. Найдём при каких значениях параметра а график функции
проходит через точку В (5; 10) и определим сколько решений имеет исходное уравнение в этом случае.
а) График функции проходит через точку В (5; 10), если
б) Если , то функция
принимает вид
и на отрезке
имеем
в) Точку пересечения прямых ,
, где
найдём из системы
Прямые ,
пересекаются на отрезке
в точке С(–2,5; 2,5).
г) Точку пересечения прямых и
, где
найдём из системы
Прямые ,
на промежутке
пересекаются в точке В(5; 10).
д) График функции на отрезке
пересекает прямую
в двух точках: В(5; 10), С(–2,5; 2,5) (рис.11).
Исходное уравнение при имеет два решения.
Из рисунка (рис.11) для и замечания следует ответ.
Ответ. Если , то нет решений; если
, то одно решение; если
, то два решения.
Замечание. Графический метод даёт наглядную интерпретацию решения задачи. С помощью этого метода может быть получен ответ наглядно и быстро, но очень часто только графическая интерпретация оказывается недостаточной и для полного обоснования требуются дополнительные исследования.
5. При каких значениях параметра уравнение
имеет единственный корень; имеет два корня; не имеет корней?
Решение. 1. Рассмотрим функции где
. Построим графики функций
и
при
(областью определения функции
является интервал
).
Графиком функции , где
является «уголок» с вершиной в точке А(2; 1) и сторонами
Функция для каждого значения параметра а задаёт семейство логарифмических функций,проходящих через точку В(1; 0).
На рисунке 12 а) изображён график функции
, где
а на рисунке 12 б) изображён график функции
, если
, при некоторых значениях параметра
.
2. Если график функции проходит через точку А(2; 1), то он может пересекать график функции
в одной точке А(2; 1) или в двух точках (одна из этих точек А(2; 1)). В этом случае исходное уравнение имеет одно или два корня.
График функции проходит через точку А(2; 1), если
При исходное уравнение принимает вид
(5.1)
3. Уравнение (5.1) равносильно совокупности уравнений
(5.2)
1) Рассмотрим первое уравнение совокупности (5.2).
Так как функция убывает, а функция
возрастает, то графики функций пересекаются только в одной точке – это точка (2; 1), а тогда уравнение (5.1) при
, а значит и исходное уравнение при
и
, имеет единственный корень:
.
2) Рассмотрим второе уравнение совокупности (5.2).
Найдём число точек пересечений графиков функций
при
Рассмотрим функцию
Найдём промежутки монотонности функции .
а) Найдём производную функции . Имеем
б) Определим знак если
Так как , то
. Так как функция
убывает, если
то
, а тогда
Таким образом, если
. Тогда функция
возрастает на интервале
Так как и функция
возрастает на интервале
, то
(5.3)
Из системы (5.3) следует: графики функций и
не пересекаются при
. Это означает, что уравнение (5.1) при
, а значит и исходное уравнение при
и
не имеет корней.
Из 1) и 2) следует, что уравнение (5.1), а значит и исходное при , имеет единственный корень.
4. Построим графики функций и
при
и
. Для этого воспользуемся следующим: так как
то найдётся такое значение
что для всех
выполняется неравенство
На рисунке 12 в) изображены графики функций
если
и
.