Операции над множествами
Множества. Основные понятия
Понятие множества является основным, неопределяемым понятием, поэтому можно только пояснить этот термин. Под множеством понимается собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое.
В этом интуитивном определении, принадлежащем немецкому математику Георгу Кантору (1845-1918), существенным является то обстоятельство, что собрание предметов само рассматривается как один предмет. Что касается самих предметов, которые входя во множество, то относительно них существует значительная свобода. Это может быть и множество целых чисел, и множество точек на плоскости и множество белых носорогов. Множество не обязательно должно содержать в каком-то смысле однородные объекты. Можно объединить в одном множестве и множество объектов и его одиночных представителей.
Множества обычно обозначается заглавными латинскими буквами A, B, C,…. Множество можно задать списком, перечислив все его элементы:
При этом порядок, в котором элементы расположены при описании множества, не имеет значения. Не имеет значения также возможность неоднократного повторения одних и тех же элементов при описании множества. | |||
![]() | |||
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор |
К другому способу задания множества можно отнести порождающую процедуру, например,
![]() | (1.2) |
В данном случае под выражением можно понимать арифметические операции, или некоторые неформальные описания.
Пример. Множество содержит один элемент:
состоит из набора элементов
.
Определение множества, как совокупности всех неких объектов, которые обладают неким заданным нам свойством, не всегда может привести к однозначному ответу.
Пример Парадокс Рассела. Владелец парикмахерской в одном селе повесил следующее объявление: «Брею тех и только тех жителей села, кто не бреется сам». Спрашивается, кто бреет брадобрея?
Этот парадокс свидетельствует о том, что широко используемая теория множеств в ее интуитивном, «наивном» изложении является противоречивой. Формализация теории множеств, связанная, в частности, с устранением парадоксов, способствовала развитию не только методов теории множеств, но и такой науки, как математическая логика.
Символом обозначается отношение принадлежности. Запись
означает, что элемент
является элементом множества
.
Определение 1.1. Множества и
считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Записать утверждение о том, что множество равно множеству
можно при помощи простой формулы
![]() | (1.3) |
Если множества состоят из разных элементов, то этот факт записывают
![]() | (1.4) |
ПримерДаны три множества ,
и
. В силу того, что все три множества состоят из одних и тех же элементов, справедлива запись
.
Пример 1.2.Даны два множества и
. Эти множества нельзя считать равными, так как единственным элементом множества
есть множество
, множество
состоит из двух элементов: чисел 1 и 2.
Определение 1.2. Если все элементы множества А принадлежат также множеству В, причем , то множество А является подмножеством В. Этот факт обозначают так:
![]() | (1.5) |
Определение 1.3. Если каждый элемент множества А есть элемент множества В, причем возможно , то множество В включает подмножеством А:
![]() | (1.6) |
Для наглядного представления отношений между подмножествами какого-либо универсального множества используются диаграммы Венна. Простые и лаконичные рисунки, которые впервые предложил английский математик Джон Венн (1834-1923), используются для иллюстрации взаимосвязей и в теории вероятности, и в логике, и в статистике и в информатике.
В теории множеств сами множества обозначают областями и размещают внутри прямоугольника, который представляет собой некое универсальное множество ![]() | ![]() |
Джон Венн |
Пример 1.5. Даны два множества ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() |
![]() |
Множество, не содержащее элементов, называется пустым, и обозначается символом Ø. Пустое множество есть подмножество любого множества.
Множества бывают конечные и бесконечные. Конечные множества содержат конечное число элементов. Множества, не являющиеся конечными, называются бесконечными.
Число элементов конечного множества называется его мощностью. Мощность множества обозначают
.
Пример 1.6. Дано множество . Тогда
=5.
Множество всех подмножеств множества называется множеством-степенью и обозначается
. Если множество
состоит из
элементов, то множество
состоит из
элементов.
Пример 1.7. Дано множество . Множество-степень содержит следующие подмножества:
Операции над множествами
Рассмотрим методы получения новых множеств их уже существующих.
Определение 1.4. Пересечением множеств А и В называется множество С , состоящее из всех элементов, одновременно входящих и в множество А, и во множество В. Это записывается следующим образом:
![]() | (1.3) | |
Свойства операции пересечения множеств:
1. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() | |
![]() | ||
Пример 1.7. Если множество А есть интервал (1; 5) а множество В есть интервал (2; 7), то пересечение множеств А и В есть интервал (2; 5): .
Определение 1.5. Объединением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств или А, или В, или А и В одновременно. Это обозначается следующим образом:
![]() | (1.4) | |
Свойства операции объединения множеств:
1. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() | |
![]() | ||
Пример 1.8. Если множество А есть отрезок [1; 3] а множество В есть отрезок [2; 5], то объединение множеств А и В есть отрезок [1; 5]: .
Определение 1.6. Дополнением множества А называется множество всех элементов универсального множества U, каждый из которых не принадлежит множеству А.
Дополнение множества А будем обозначать через
Свойства операции дополнения множеств:
| ![]() |
![]() |
Пример 1.9. Если множество А есть отрезок [1; 3], то множество представляет собой объединение двух интервалов:
.
Определение 1.7. Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих В:
![]() | (1.5) |
Операция вычитания множеств не коммутативна: ![]() ![]() | ![]() |
![]() |
Пример 1.10. Если множество А есть отрезок , а множество В есть отрезок
, то разность
представляет собой полуинтервал
, а
полуинтервал
.
Определение 1.8. Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих множествам А и B, но не принадлежащих ихобщим областям.
![]() | (1.6) |
Другими словами симметрическая разность двух множеств ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() |
![]() | |
Операция симметрической разности для трех множеств ассоциативна: ![]() | ![]() |
![]() |
Пример 1.11. Если ,
, то
.
Определение 1.9. Декартовым произведением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всевозможных пар элементов , у которых
и
.
![]() | (1.7) |
Пример 1.12. Даны два множества: ,
. Для этих множеств можно составить два варианта декартового произведения этих множеств:
и
Из примера видно, что множества и
различны.
Пример 1.13. Пусть множество А есть отрезок ![]() ![]() ![]() | ![]() |
![]() |
Для двух конечных множеств и
, мощности которых определены как
и
можно вычислить мощность декартового произведения
как