Законы распределения случайных величин

Случайные величины могут быть дискретными или непрерывными.

Дискретной называют величину m, принимающую конечное или счетное число значений.

Законом распределения дискретной случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления. Закон распределения может быть задан в табличной форме. Например:

X
p	0.5	0.2	0.2	0.1

Непрерывной является величина, которая может принимать любое значение из некоторого конечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины n бесконечно. Вероятность того, что непрерывная величина примет определенное значение, равна нулю.

, так как n ® ¥.

Поэтому интегральной функцией распределения называется функция вида

Функция распределения существует как для дискретных, так и для непрерывных величин и характеризует вероятность события Х < x, где х – текущая переменная.

Свойства функции распределения.

1. F(x) – возрастающая функция.

2. .

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу [a, b], то F(x) = 0 при x £ a, F(x) = 1 при x ³ b.

Производная интегральной функции называется дифференциальной функцией распределения, плотностью распределения или плотностью вероятностей. Плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин.

Каждый закон распределения представляет собой некоторую функцию, которая полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения.

Однако на практике достаточно указать параметры, характеризующие в сжатой форме случайную величину. Это математическое ожидание и дисперсия. Для дискретной величины математическое ожидание – это сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений.

, (2.11)

для непрерывной величины

, (2.12)

где – плотность распределения величины х.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

. (2.13)

Пусть случайная величина задана законом распределения

Х	x₁	x₂	….	x_n
p	p₁	p₂	….	p_n

По определению дисперсии

_(2.14)

Для непрерывной случайной величины

. (2.15)

Среднеквадратичное отклонение случайной величины

. (2.16)

На практике приходится определять численные характеристики случайной величины по ограниченному объему статистических данных.

Статистическое математическое ожидание (среднее значение):

, (2.17)

где n – количество экспериментальных данных.

Статистическая дисперсия:

. (2.18)

Возможно получить еще одну формулу для вычисления дисперсии:

(2.19)

Еще знаменитый астроном-наблюдатель Тихо Браге (1546 – 1601) обратил внимание на то, что точность измерений значительно повышается, если произвести несколько измерений и взять из них среднее арифметическое. Этот эмпирический факт объясняется теоремой Чебышева. Теорема Чебышева утверждает: если x₁, x₂, … , x_n – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание М и если дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как ни мало e > 0, вероятность неравенства будет сколь угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Сущность теоремы Чебышева состоит в том, что при достаточно больших количествах измерений их среднее арифметическое мало отличается от истинного значения измеряемой величины. Истинное значение равно математическому ожиданию величины.

На теореме Чебышева основан выборочный метод, суть которого состоит
в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности исследуемых объектов. Например, о качестве зерна судят по небольшой его пробе. Число наудачу отобранных зерен мало по сравнению со всей массой зерна, но само по себе велико.