Параметр потока отказов
Простейшая модель описания потоков отказов и восстановлений, при которой элемент или привод функционирует до первого отказа случайное время 
. Затем следует его мгновенное восстановление в момент времени 
, после чего элемент работает случайно в течение времени 
до второго отказа и т.д. Моменты времени 
образуют случайный поток отказов.
Рисунок 8 – Модель описания потоков отказов
Процесс восстановления описывается случайной величиной 
, равной числу отказов, произошедших за время 
. Величину на интервале 
можно характеризовать математическим ожиданием числа отказов 
, которое называется ведущей функцией потока или функцией восстановления.
Также используют производную математического ожидания числа отказов – параметр потока отказов:
Статистически параметр потока отказов определяется:
где 
- число наблюдаемых элементов;
- промежуток времени;
- число отказов.
Параметр потока отказов (по времени) сначала возрастает, потом начинает колебаться с затуханием на уровне 
, где 
- средняя наработка между отказами.
При статистической оценке
это среднее число отказов восстанавливаемого элемента в единицу времени, т.е. это показатель надежности восстанавливаемых изделий, равный отношению среднего числа отказов изделия за произвольную малую его наработку к значению этой наработки (соответствует интенсивности отказов для неремонтируемых изделий, но включает повторные отказы).
Частота отказов представляет собой плотность распределения вероятностей наработки между отказами и определяется статистически. Является отношением количества отказов однотипных восстанавливаемых систем (элементов) 
в течение интервала времени к произведению первоначального количества рассматриваемых систем 
и времени :
Интенсивность отказов в случае восстанавливаемых систем определяется как:
где 
- число отказавших элементов;
- число элементов данного типа в системе, остающееся всегда постоянным.
Средняя наработка на отказ в вероятностной форме определяется как:
где 
– суммарная наработка за заданное время ;
- математическое ожидание числа отказов за это время.
Средняя наработка на отказ в статистической форме определяется как:
где - суммарная наработка элемент за время наблюдения;
- число отказов за это время.
Средняя наработка между отказами в вероятностной форме:
где 
- плотность распределения вероятности наработки между отказами;
- функция надежности наработки между отказами.
Средняя наработка между отказами при статистической оценке:
где 
- общее число элементов, начавших работать после (k-1)-го восстановления;
- время работы после (k-1)-го восстановления до k-го отказа i-го элемента.
Среднее время безотказной работы определяется как математическое ожидание времени наработки между отказами:
где 
- среднее время наработки между отказами каждого из N-го числа испытуемых систем;
- наработка между последующим и предыдущим отказами системы;
- число отказов системы в течение заданного времени.
Интенсивность восстановленияпри статистической оценке есть отношение числа восстановлений в период времени к произведению числа элементов 
, не восстановленных к моменту времени , на длительность интервала времени :
где 
- число элементов, восстановление которых длилось меньше времени ;
- число элементов, восстановление которых длилось больше времени .
Среднее время восстановления при вероятностной оценке выражается как:
где 
- плотность распределения времени восстановления 
;
- вероятность восстановления за заданное время.
При статистической оценке:
где - общее число элементов, подвергшихся восстановлению;
- среднее время восстановления i-го элемента.
Вероятность восстановления представляет собой значение функции распределения вероятности восстановления за заданное время , определяется формулой Пуассона:
где 
- число восстановлений;
- интенсивность восстановления.
Коэффициент готовности – это комплексный показатель, т.к. количественно характеризует одновременно два показателя – безотказность и ремонтопригодность:
где 
- средняя наработка на отказ;
– среднее время восстановления одного отказа.
Коэффициент технического использования характеризует долю времени нахождения элемента в работоспособном состоянии относительно рассматриваемой продолжительности эксплуатации, учитывает затраты времени на плановые и внеплановые ремонты:
где - время восстановления i-го элемента;
- время эксплуатации элемента;
- время, затраченное на проведение всех видов регламентных работ, предусмотренных документацией.
Вероятность безотказной работы восстанавливаемого привода есть вероятность того, что привод в любой момент времени находится в работоспособном состоянии.
Выражение вероятности безотказной работы имеет вид:
куда при расчете восстанавливаемого привода вместо 
подставляют или .
Восстанавливаемый привод в произвольный интервал времени 
будет в работоспособном состоянии в конце интервала только при выполнении несовместных событий:
А – привод работоспособен в момент времени и на интервале не откажет;
В – привод к моменту времени отказал, но на интервале восстановлен.
Тогда вероятность этих двух событий будет иметь вид:
где 
- параметр восстановлений (аналогичен параметру потока отказов) – величина, обратная времени восстановления :
При учете, что события А и В несовместные, из решения уравнения 
получим:
Применив предельный подход 
и начальное условие 
, получим выражение для определения вероятности работоспособного состояния восстанавливаемого привода в любой момент времени:
Рисунок 9 – Зависимость вероятности безотказной работы для восстанавливаемых и невосстанавливаемых приводов
Из Рисунка 9 видно:
· минимальная вероятность безотказной работы восстанавливаемого привода ограничивается параметром восстановления , т.к. 
;
· вероятность безотказной работы восстанавливаемого привода выше, чем невосстанавливаемого;
· чем меньше (больше ), тем больше вероятность безотказной работы.
Вероятность отказа определяется по формуле:
где - число отказов;
- параметр потока отказов;
- математическое ожидание числа отказов.
Для восстанавливаемых объектов периоды потери работоспособности назначаются заранее определенной системой планово-предупредительных ремонтов и технического обслуживания, проводимых в определенные моменты времени. В этом случае поток отказов не носит случайных характер, а является заранее запланированным. Потоки отказов и восстановлений являются критериями для назначения планово-предупредительных ремонтов и длительности периода между техническим обслуживанием.