Классы смежности по нормальной подгруппе и факторгруппа
Предложение 1. Пусть 
- нормальная подгруппа группы 
и 
-какой-либо элемент . Тогда 
.
Доказательство. По определению нормальной подгруппы 
. Тогда 
и 
. Поэтому 
и, следовательно, .
Предложение 2. Если - нормальная подгруппа группы и 
, то 
.
Доказательство. Согласно предыдущему предложению . Умножив это равенство слева на , получим требуемое равенство.
Предложение 3. Классы смежности по нормальной подгруппе образуют группу относительно умножения подмножеств группы. Единицей этой группы является сама подгруппа.
Доказательство. Пусть - группа и - ее нормальная подгруппа. Рассмотрим произведение двух классов смежности 
и 
. Воспользуемся ассоциативностью умножения подмножеств и предложением 2. Имеем: 
, т. е. произведение двух классов смежности оказалось классом смежности. Далее, 
и 
, так что есть единица при этом умножении. Осталось рассмотреть наличие обратного элемента: 
и 
. Следовательно, 
есть обратный элемент для .
Определение. Группа, образованная классами смежности группы по нормальной подгруппе называется факторгруппой по и обозначается 
.
Определение факторгруппы можно сформулировать в терминах сравнения. Назовем два элемента 
и 
сравнимыми по нормальной подгруппе , если 
или, что то же самое, 
, т. е. и принадлежат одному классу смежности по . Тогда, если 
и 
, то 
, так как 
, 
и 
при 
, т. е. .Поэтому, если определить произведение классов как класс, содержащий произведение каких-либо представителей этих классов, определение будет корректным. Оно совпадает с определением произведения классов смежности как элементов факторгруппы.