Косвенные измерения. Косвенные измерения — это измерения, при которых искомое значение Q находят на основании известной зависимости
Косвенные измерения — это измерения, при которых искомое значение Q находят на основании известной зависимости
(8.2)
где Q1, Q2,...,Qm— значения, полученные при прямых измерениях. По виду функциональной зависимости F они делятся на две основные группы — линейные и нелинейные. Для линейных косвенных измерений математический аппарат статистической обработки полученных результатов разработан детально. Обработка результатов косвенных измерений [57] производится, как правило, методами: основанными на раздельной обработке аргументов и их погрешностей; линеаризации; приведения; йеребора.
Первые три метода рассматриваются ниже, а четвертый — в [57]. Методика обработки результатов косвенных измерений приведена в документе МИ 2083-90 "ГСИ. Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей".
Косвенные измерения при, линейной зависимости между аргументами. Линейная функциональная зависимость является простейшей формой связи между измеряемой величиной и находимыми посредством прямых измерений аргументами. Она может быть выражена формулой
где bi — постоянный коэффициент i-ro аргумента Qi; m — число аргументов. Погрешности линейных косвенных измерений оцениваются методом, основанным на раздельной обработке аргументов и их погрешностей.
Если коэффициенты bi определяют экспериментально, то нахождение результата измерения величины Q производится поэтапно. Сначала оценивают каждое слагаемое biQi, как косвенно измеряемую величину, полученную в результате произведения двух измеряемых величин, а потом находят оценку измеряемой величины Q. Результат косвенного измерения определяют по формуле
где Q̃i — оценка результата измерений аргумента Qi, получаемая, как правило, посредством обработки результатов многократных прямых измерений каждого из аргументов. При несмещенности и состоятельности результатов Q̃i полученная оценка результата измерения Q̃ будет также несмещенной и состоятельной. Поскольку дисперсия результата измерения
то, если результаты Q̃i обладают минимальной дисперсией, т.е. являются эффективными, оценка результата измерения Q̃i также будет эффективной.
При отсутствии корреляционной связи между аргументами СКО результата косвенного измерения S(Q̃), обусловленное случайными погрешностями, вычисляется по формуле
(8.3).
где S(Q̃i)— среднее квадратическое отклонение результата измерения аргумента qj, рассчитываемое по формуле (6.10).
При наличии корреляционной связи между аргументами СКО результата косвенного измерения
Здесь ρk1 — несмещенная оценка коэффициента корреляции между погрешностями аргументов Qk и Qi:
где Qki, Q1i — i-e результаты прямых измерений k-ro и i-го аргументов; n — число прямых измерений аргументов. Коэффициент корреляции может быть рассчитан и по другим формулам, равнозначным приведенной (см. разд. 9.3).
Корреляция между аргументами чаще всего возникает в тех случаях, когда их измерения проводятся одновременно и подвергаются одинаковому влиянию внешних условий (температуры, влажности, напряжения питающей сети, помех и т.п.). Критерием отсутствия связи между двумя аргументами является выполнение неравенства [48]
где tq— коэффициент Стьюдента, соответствующий уровню значимости q и числу степеней свободы n - 2. Необходимо проверить отсутствие корреляционных связей между всеми парными сочетаниями аргументов.
Моделью для распределения результатов измерений отдельных аргументов обычно можно считать случайную величину с нормальным распределением. Для распределений, отличных от нормального, распределение среднего арифметического при этом все же можно считать нормальным [3]. Случайную погрешность результата косвенного измерения, образующуюся путем сложения случайных погрешностей результатов определения многих аргументов, еще с большим основанием можно считать нормально распределенной случайной величиной. Это дает возможность найти доверительный интервал для значения измеряемой величины.
При большом числе измерений (более 25—30), выполненных при нахождении каждого из аргументов, доверительную границу случайной погрешности результата косвенного измерения можно определить по формуле
где zp — квантиль нормального распределения, соответствующий выбранной доверительной вероятности Р.
При меньшем числе измерений для определения доверительного интервала используется распределение Стьюдента, число степеней свободы которого рассчитывается по приближенной формуле [3]
где ni — число измерений при определении аргумента Qi. В этом случае при условии, что распределение погрешностей результатов измерения аргументов не противоречит нормальному распределению, доверительная граница случайной погрешности результата косвенного измерения
где tq — коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности P = l—q и числу степеней свободы f.
Систематическая погрешность результата косвенного измерения определяется систематическими погрешностями результатов измерений аргументов. При измерениях последние стремятся исключить. Однако полностью это сделать не удается, всегда остаются неисключенные систематические погрешности, которые рассматриваются как реализации случайной величины [57], имеющей равномерное распределение. Такое предположение приводит обычно к достаточно осторожным заключениям о погрешности результатов косвенных измерений.
Доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата линейного косвенного измерения 9(Р) в случае, если неисключенные систематические погрешности аргументов заданы границами 0,, вычисляют по формуле
(8.4)
где k — поправочный коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью Р и числом m составляющих qi. Его значения приведены в табл. 8.4. Погрешность от применения этих усредненных коэффициентов не превышает 10% [57].
Таблица 8.4
Значения коэффициента k при m>4
| Р | 0,90 | 0,95 | 0,98 | 0,99 |
| k | 0,95 | 1,1 | 1,3 | 1,4 |
Если число суммируемых слагаемых m £ 4 и они значительно различаются между собой, то значение коэффициента k определяется по табл. 8.5. Под L здесь понимают отношение наибольшей длины интервала (bi0i)max одного из слагаемых к длине biqi остальных слагаемых.
Таблица 8.5
Значения коэффициента k при m = 2. 3. 4
| L | Р=0,98 | Р=0,99 | ||||
| m=2 | m = 3 | m = 4 | m = 2 | m = 3 | m = 4 | |
| 1,22 | 1,28 | 1,30 | 1,28 | 1,38 | 1,41 | |
| 1,16 | 1,23 | 1,26 | 1,22 | 1,31 | 1,36 | |
| 1,11 | 1,1" | 1,20 | 1,16 | 1,24 | 1,28 | |
| 1,07 | 1,12 | 1,15 | 1,12 | 1,18 | 1,22 | |
| 1,05 | 1,09 | 1,12 | 1,09 | 1,14 | 1,18 |
Если границы неисключенных систематических погрешностей результатов измерений аргументов заданы их доверительными границами qi(Pi), соответствующими вероятностям Pi, то границу q(Р) определяют по формуле
Коэффициенты ki определяются так же, как поправочный коэффициент k.
Суммарная погрешность результата косвенного измерения оценивается на основе композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей. Формулы для ее расчета в зависимости от соотношения границ неисключенной систематической составляющей и СКО случайной составляющей погрешности приведены в табл. 8.6.
Таблица 8.6
Погрешность результата косвенных измерений D(Р)
| Значение q(P)/S(Q̃) | Погрешность результата измерения Д(Р) |
| q(P)/S(Q̃) <0.8 | e(Р) |
| 0,8 < q(P)/S(Q̃) <8 | kP[e(P) + q(P)] |
| q(P)/S(Q̃) >0,8 | e(Р) |
Коэффициент kp определяется по табл. 8.7.
Таблица 8.7.
Зависимость kp от отношения q(P)/S(Q̃) при различной
доверительной вероятности
| q(P)/S(Q̃) | 0,5 | 0.75 | ||||||||
| k0,95 | 0,81 | 0,77 | 0,74 | 0,71 | 0,73 | 0,76 | 0,78 | 0,79 | 0,80 | 0,81 |
| k0,99 | 0,87 | 0.85 | 0,82 | 0,80 | 0,81 | 0,82 | 0,83 | 0,83 | 0,84 | 0,85 |
Результат косвенных измерений должен записываться в виде х ± D(Р) при доверительной вероятности Р.
Косвенные измерения при нелинейной зависимости между аргументами. Для обработки результатов измерений при нелинейных зависимостях между аргументами и некоррелированных погрешностях используется метод линеаризации. Он состоит в том, что нелинейная функция, связывающая измеряемую величину с аргументами, разлагается в ряд Тейлора:
(8.5)
Здесь 
— первая частная производная от функции f по аргументу Qi, вычисленная в точке Q̃1, Q̃2,...,Q̃m; DQ; — отклонение результата измерения аргумента Qi от его среднего арифметического; R̃ — остаточный член:
Метод линеаризации применим, если остаточным членом можно пренебречь. Это возможно в том случае, если
где S(Qi)— СКО случайной погрешности результата измерений аргумента Qi. При необходимости результаты косвенных измерений можно уточнить, используя члены ряда Тейлора более высокого порядка. Эти вопросы детально рассмотрены в [57]. Оценка результата определяется по формуле
(8.6)
Абсолютная погрешность косвенного измерения D = Q̃ - Q , как это следует из уравнения (8.5), равна
где Wi = ∂f/∂Qi — коэффициенты влияния i-го аргумента; DQ, — абсолютная погрешность измерения i-го аргумента; WiDQi — частная i-я погрешность определения результата косвенного измерения.
Пример 8.2. Разложить в ряд Тейлора уравнение для определения плотности и получить выражение для расчета абсолютной погрешности.
Плотность твердого тела р определяется как отношение результата измерения его массы m к объему V. При этом в соответствии с (8.5) получаем выражение
где в скобках стоит остаточный член. Учитывая, что
окончательно получим
Абсолютная погрешность
Коэффициенты влияния чаще всего определяются путем подстановки в выражения для частных производных оценок Q;. Поэтому вместо самих коэффициентов влияния получаются их оценки. В ряде случаев они устанавливаются экспериментально, что приводит к возникновению еще одной погрешности нелинейных косвенных измерений. Этой погрешности можно избежать, если зависимость (8.1) имеет вид
(8.7)
Тогда коэффициенты влияния
Оценка измеряемой величины находится по (8.6), (8.7), а ее относительная погрешность с учетом последних формул определяется как
Из полученной формулы видно, что коэффициенты влияния для относительной погрешности оказываются равными показателям степеней соответствующих аргументов. Последние известны точно, и отмеченная выше погрешность не возникает. Для рассмотренного выше примера измерения плотности тела имеем dρ = dm - dV .
Оценка СКО случайной погрешности результата косвенного измерения
(8.8)
При точно известных коэффициентах влияния оно совпадает с уравнением (8.3), полученным для линейных косвенных измерений. Для зависимости вида (8.7) данная оценка, представленная в относительной форме, запишется в виде
где 
— оценка СКО i-го аргумента, представленная в относительной форме.
Доверительные границы случайной погрешности результата при нормально распределенных погрешностях измерений аргументов вычисляются так же, как и для линейных косвенных измерений, при условии, что вместо коэффициентов bi в формулах подставляются коэффициенты влияния Wi. Аналогичным образом поступают при определении границ неисключенной систематической погрешности. Погрешность результата нелинейных косвенных измерений оценивается так же, как и при линейных измерениях.
Метод приведения. Он используется для определения результатов косвенного измерения и его погрешности при наличии корреляции между погрешностями измерений аргументов. Метод можно также применять при неизвестных распределениях погрешностей аргументов. Он предполагает наличие ряда согласованных результатов измерений аргументов Q11, Q12, …, Qlm; Q21,… Q2m, Qj2, ..., Qjm; QL1, QL2, …, QLm, полученных в процессе многократных измерений. Согласованность результатов измерений означает либо одновременное их осуществление, либо то, что они выполнены над одним и тем же объектом и в одних и тех же условиях.
Метод основан на приведении отдельных значений косвенно измеряемой величины к ряду простых измерений. Получаемые сочетания отдельных аргументов подставляют в формулу (8.6) и вычисляют отдельные значения измеряемой величины Q: Q1, Q2, ..., Qj, QL.
Результат косвенного измерения Q̃ и СКО его случайной погрешности вычисляются по формулам
Доверительные границы случайной погрешности результата измерения рассчитываются по формуле D = TS(Q̃), где Т — коэффициент, зависящий от вида распределения отдельных значений определяемой величины и выбранной доверительной вероятности. При нормальном распределении отдельных значений измеряемой величины доверительные границы случайных погрешностей вычисляются по методике для прямых многократных измерений, изложенной в ГОСТ 8.207-76.
Границы неисключенной систематической погрешности и до верительные границы погрешности результата косвенного измерения определяются так же, как и в рассмотренных выше случаях.