Статистические характеристики надёжности устройств в условиях эксплуатации

Общие положения

Расчет надёжности по статистическим данным может проводиться в процессе испытаний на надёжность, либо в условиях эксплуатации. Для определения показателей надёжности в этом случае необходимо получить : сведения об отказавшем блоке, узле, элементе; сведения о времени наступления отказа; сведения о причине отказа; сведения о наработке отдельных элементов, блоков, аппаратуры в целом; сведения о времени ремонта и о времени простоя. При расчете надёжности по данным о наработке составляется таблица потока отказов (таблица 7.1), в общем случае, представляющая простой статистический ряд, в котором статистические данные изменяются по величине беспорядочно. На основании этой таблицы строится вариационный ряд наработки данного устройства (таблица 7.2) в котором нумерация отказов делается такой, чтобы статистические данные возрастали с увеличением величины номера. Приведённые числовые значения в таблицах взяты из [4].

Таблица 7.1 - Простой статистический ряд по данным о наработке

Номер отказа

Наработка Т₁, ч

Номер отказа

Наработка Т₁, ч

Таблица 7.2 - Вариационный ряд по данным о наработке

Номер отказа

Наработка Т₁, ч

Номер отказа

Наработка Т₁, ч

При большем числе наблюдений весь диапазон значений отказов делится на интервалы времени Δt_i и подсчитывается количество отказов n_i, приходящихся на каждый i-й интервал. Далее строится таблица (таблица 7.3), называемая статистическим рядом, в которой приводятся интервалы в порядке их расположения вдоль оси абсцисс (число отказов в интервале Δt_i) и оценки рассчитываемых показателей надёжности для каждого интервала Δt_i. По данным этого ряда строятся гистограммы для оцениваемых показателей надёжности: интенсивности отказов λ(t) и вероятности безотказной работы Р(t) (рисунок 7.1).

Расчётные формулы для оценочных значений интенсивности отказов λ_i _стат(t), для вероятности безотказной работы Р_стат(t) и для вероятностей отказа F_стат(t) и F(t) даны в таблице 7.3.

Таблица 7.3 - Статистический ряд по данным о наработке

Δt_i , ч	0 - 20	20 - 40	40 - 60	60 - 80	80 - 100	100 - 120
n_i
λ_{i стат}(t) 1/ч	0,0363	0,0218	0,0125	0,027	0,033	λ_{i стат}(t) = n_i / {Δt_i × [n - n(t)]}
P_стат(t) = 1 - n(t) / N	0,46	0,3	0,23	0,13	0,070	t = t_i_{нач. интервала} + Δt_i / 2
F_стат(t) = 1 - P_стат(t)	0,54	0,7	0,77	0,87	0,930	l λ_ср =∑ λ_{i стат}(t) / l = 0,026 i = 1
F(t) = 1 - ехр(-λ_срt)	0,33	0,54	0,73	0,82	0,900

Интервал Δt_i принят равным 20 ч. В дальнейшем построенные гистограммы аппроксимируются кривой, по виду которой можно ориентировочно установить закон распределения отказов путем сравнения с соответствующими теоретическими кривыми.

Ширина интервала должна быть не менее чем в два раза больше погрешности измерения параметра. Группировка данных в общем случае приводит к потере информации, но установлено, что для каждого закона распределения существует оптимальное число интервалов гистограммы, при котором вид гистограммы оказывается наиболее близким к действительному виду кривой плотности распределения. На практике можно пользоваться для выбора количества интервалов l таблицей 7.4 или таблицей 7.5, рекомендованных стандартами. Количество интервалов при построении эмпирической кривой распределения может немного меняться для устранения зигзагообразности, провалов и т.п. [10].

Таблица 7.4 - Рекомендованные пределы для выбора количества интервалов [10]

n	25 .. 40	40 .. 60	60 .. 100		100 .. 160	100 .. 250	250 .. 400	400 .. 630	630 .. 1000
l

Таблица 7.5 - Рекомендованные стандартами пределы для выбора количества интервалов

n	50 .. 100
l	10 .. 20	18 .. 20	25 .. 30	35 .. 40

Для случая, когда ширина всех интервалов статистического ряда Δt_i одинакова (Δt_i = Δt), её можно вычислить через размах варьирования R = t_MAX – t_MIN параметра t по формуле

Δt = R / l = (t_MAX – t_MIN) / l. (7.1)

Любое значение показателя надёжности, вычисленное на основе ограниченного числа опытов, всегда будет содержать элемент случайности. Приближенное, случайное значение показателя называет оценкой показателя.

К оценке х_стат параметра х предъявляется ряд требований.

Оценка х_стат при увеличении числа опытов n должна приближаться к параметру х. Оценка, обладающая таким свойством, называется состоятельной.

С заданной точностью оценка х_стат не должна обладать систематической ошибкой, т.е. необходимо, чтобы выполнялось условие равенства М(х_стат) значению случайной величины х:

М(х_стат) = х. (7.2)

Оценка, удовлетворяющая условию (7.2), при котором её математическое ожидание равно оцениваемому параметру х, называется несмещенной. При равноточных измерениях оценка х_стат может быть вычислена как среднее арифметическое значение величин х₁, х₂, …, х_N.

(7.3)

В частности, статистическую оценку средней наработки до отказа Т_1стат вычисляют по формуле

(3.22)

Выбранная несмещенная оценка должна обладать по сравнению с другими наименьшей дисперсией, т.е.

D[х_стат] = min. (7.4)

Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной [4]. Статистическая оценка среднеквадратичного отклонения σ_стат от среднего арифметического значения связана с дисперсией D[х_стат] соотношением

(7.5)

Если среди результатов независимых измерений n_i раз встречаются равные по величине значения х_i, то n_i называют частотой х_i. В этом случае можно сократить объём вычислений х_стат и ], используя формулы:

(7.6)

(7.7)

где К - число групп (интервалов) с одинаковыми значениями х_i. Эти же формулы используют и в случае статистического интервального ряда, но тогда под х_i понимают среднее арифметическое значение х_i _стат параметра х в i-ом интервале, а под n_i - количество измеренных значений, которые по величине попадают в указанный интервал.