Экспоненциальная зависимость

Квадратичная зависимость.

Будем искать эмпирическую формулу вида: Y = ax2+ bx +c.

В силу необходимого условия экстремума функции нескольких переменных получим следующую систему:

Откуда после преобразований получим систему.

Из последней системы находим параметры a, b, c.

Варианты заданий.

Использую таблицу, определить параметры по способу наименьших квадратов. Найти эмпирическую функцию в виде многочлена второй степени: y=ax2+ bx+c.

Варианты

  x Варианты
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 14.4000 15.2910 16.2240 17.1990 18.2160 19.2750 20.3760 21.5190 22.7040 23.9310 25.2000 7.9000 8.7870 9.7480 10.7830 11.8920 13.0750 14.3320 15.6630 17.0680 18.5470 20.1000 7.7000 8.8290 10.0760 11.4410 12.9240 14 5250 16.2440 18.0810 20.0360 22.1090 24.3000 10.6000 11.3670 12.2280 13.1830 14.2320 15.3750 16.6120 17.9430 19.3680 20.8870 22.5000 9.1000 11.2610 13.5640 16.0090 18.5960 21.3250 24.1960 27.2090 30.3640 33.6610 37.1000 12.9000 13.5770 14.3480 15.2130 16.1720 17.2250 18.3720 19.6130 20.9480 22.3770 23.9000

 

  x Варианты
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 1.0000 4.7040 6.7390 8.8960 11.1750 13.5760 16.0990 18.7440 21.5110 24.4000 -6.1000 -5.3290 -4.4360 -3 4210 -2.2840 -1.0250 0.3560 1.8590 3.4840 5.2310 7.1000 17.5000 20.0410 22.7640 25.6690 28.7560 32.0250 35.4760 39.1090 42.9240 46.9210 51.1000 17.4000 19.9410 22.6840 25.6290 28.7760 32.1250 35.6760 39 1090 43.3840 47.5410 51.9000 -8.9000 -9.9930 -11.2120 -12.5570 -14.0280 -15.6250 -17.3480 -19.1970 -21.1720 -23.2730 -25.5000 -0.3000 1.3110 3.0440 4.8990 6.8760 8.9750 11.1960 13.5390 16.0040 18.5910 21.3000

 

  x Варианты
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 7.8000 10.9750 14.4000 18.0750 22.0000 26.1750 30.6000 35.2750 40.2000 45.3750 50.8000 9.4000 8.6330 7 7720 6.8170 5.7680 4.6250 3.3880 2.0570 0.6320 -0.8870 -2.5000 15.1000 16 4230 17.9320 19.6270 21.5080 23.5750 25.8280 28.2670 30.8920 33.7030 36.7000 26.5000 30.1850 34.2000 38.5450 43.2200 48.2250 53.5600 59.2250 65.2200 71.5450 78.2000 7.1000 8.7010 10.4840 12.4490 14.5960 16.9250 19.4360 22.1290 25.0040 28.0610 31.3000 12.0000 12.1490 12.2760 12.3810 12.4640 12 5250 12.5640 12.5810 12.5760 12.5490 12.5000

 

  x Варианты
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 16.3000 18.8240 21.7160 24.9760 28.6040 32.6000 36.9640 41.6960 46 7960 52.2640 58.1000 9.0000 13.5520 18.5080 23.8680 29.6320 35.8000 42.3720 49.3480 56 7280 64.5120 72.7000 3.8000 1 5230 -0.9080 -3.4930 -6.2320 -9.1250 -12.1720 -15.3730 -18 7280 -22.2370 -25.9000 15.5000 14.1390 12.5960 10.8710 8.9640 6.8750 4.6040 2.1510 -0.4840 -3.3010 -6.3000 2.1000 -0.3660 -3.0240 -5.8740 -8.9160 -12.1500 -15.5760 -19.1940 -23.0040 -27.0060 -31.2000 31.5000 34.1620 37.0480 40.1580 43.4920 47.0500 50.8320 54.8380 59.0680 63 5220 68.2000

 

  x Варианты
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 20.5000 22.4510 24.6440 27.0790 29.7560 32.6750 35.8360 39.2390 42.8840 46 7710 50.9000 23.5000 25.5750 27.9000 30.4750 33.3000 36.3750 39.7000 43.2750 47.1000 51.1750 55.5000 9.0000 8.4590 7.9960 7.6110 7.3040 7.0750 6.9240 6.8510 6.8560 6.9390 7.1000 10.4000 13.0220 15.9880 19.2980 22.9520 26.9500 31.2920 35.9780 41 0080 46.3820 52.1000 17.3000 21.2310 25 5240 30.1790 35.1960 40.5750 46.3160 52 4190 58.8840 65.7110 72.9000 12.8000 16.3020 20.1080 24.2180 28.6320 33.3500 38.3720 43.6980 49.3280 55.2620 61.5000

 

Экспоненциальная зависимость.

Будем искать искомую функцию в виде: , , > 0. Прологарифмируем: .

Обозначим: X= x, Y= , A = b, B = , тогда Y=AX+B – линейная зависимость.

X x1 x2 ... xn
Y lny1 lny2 ... lnyn

После того как коэффициенты A и B найдены по методу наименьших квадратов, коэффициенты a и b находятся по формулам:

а= eB, b = A .

 

Варианты заданий.

Использую таблицу, определить параметры по способу наименьших квадратов. Найти эмпирическую функцию в виде: .

  x Варианты
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 55.4929 67.1048 81.1464 98.1263 118.6592 143.4886 173.5135 209.8212 253.7261 306.8182 371.0198 22.3837 26.7981 32.0832 38.4106 45.9858 55.0550 65.9128 78.9120 94.4748 113.1068 135.4135 0.0734 0.0432 0.0254 0.0150 0.0088 0.0052 0.0031 0.0018 0.0011 0.0006 0.0004 13.5187 15.0907 16.8454 18.8041 20.9907 23.4314 26.1560 29.1973 32.5923 36.3821 40.6126 26.2289 29.5730 33.3435 37.5947 42.3879 47.7922 53.8856 60.7558 68.5020 77.2358 87.0831 21.5121 24.9935 29.0383 33.7377 39.1976 45.5411 52.9112 61.4741 71.4227 82.9814 96.4106

 

  x Варианты
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 26.8015 34.4138 44.1882 56.7387 72.8540 93.5464 120.1159 154.2319 198.0377 254.2854 326.5090 68.5698 79.6668 92.5596 107.5389 124.9424 145.1624 168.6546 195.9487 227.6599 264.5031 307.3087 0.3829 0.2809 0.2060 0.1511 0.1108 0.0813 0.0596 0.0437 0.0321 0.0235 0.0173 0.8823 0.7010 0.5570 0.4425 0.3516 0.2794 0.2220 0.1764 0.1401 0.1113 0.0885 1.5406 1.2740 1.0535 0.8712 0.7205 0.5958 0.4927 0.4074 0.3369 0.2786 0.2304 1.9175 1.6016 1.3378 1.1174 0.9333 0.7796 0.6512 0.5439 0.4543 0.3795 0.3170

 

  x Варианты
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.3201 1.9574 1.6514 1.3932 1.1754 0.9916 0.8366 0.7058 0.5955 0.5024 0.4238 2.6852 2.2882 1.9499 1.6616 1.4159 1.2065 1.0282 0.8761 0.7466 0.6362 0.5421 3.2577 2.8039 2.4134 2.0772 1.7879 1.5388 1.3245 1.1400 0.9812 0.8445 0.7269 79.4201 98.9636 123.3162 153.6614 191.4739 238.5912 297.3030 370.4623 461.6245 575.2195 716.7676 42.1969 48.0550 54.7264 62.3240 70.9764 80.8299 92.0514 104.8307 119.3842 135.9581 154.8330 232.6291 310.8919 415.4844 555.2648 742.0712 991.7243 1325.3676 1771.2578 2367.1576 3163.5344 4227.8344

 

  x Варианты
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 30.4552 34.6832 39.4982 44.9817 51.2264 58.3381 66.4371 75.6604 86.1643 98.1263 111.7490 37.3078 42.9142 49.3631 56.7811 65.3138 75.1288 86.4186 99.4051 114.3431 131.5259 151.2908 35.6618 41.8495 49.1109 57.6322 67.6320 79.3669 93.1379 109.2983 128.2628 150.5178 176.6342 30.1067 35.6856 42.2984 50.1364 59 4270 70.4391 83.4918 98.9632 117.3016 139.0381 164.8026 0.7873 0.6070 0.4681 0.3609 0.2783 0.2146 0.1654 0.1276 0.0984 0.0758 0.0585 0.4382 0.3379 0.2605 0.2009 0.1549 0.1194 0.0921 0.0710 0.0547 0.0422 0.0325

 

  x Варианты
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 37.5644 46.3424 57.1715 70.5313 87.0129 107.3459 132.4303 163.3763 201.5538 248.6525 306.7571 28.8800 35.9867 44.8423 55.8769 69.6269 86.7604 108.1102 134.7136 167.8634 209.1707 260.6428 76.8012 96.6620 121.6588 153.1198 192.7165 242.5530 305.2772 384.2219 483.5817 608.6360 766.0292 23.1487 29.4277 37 4100 47.5574 60.4573 76.8563 97.7035 124.2055 157.8961 200.7253 255.1719 0.6731 0.5566 0.4603 0.3806 0.3148 0.2603 0.2153 0.1780 0.1472 0.1217 0.1007 0.7225 0.5856 0.4747 0.3848 0.3119 0.2528 0.2049 0.1661 0.1347 0.1091 0.0885

 

§5. Логарифмическая зависимость. Y =

Будем искать функцию в виде y = .

Обозначим Y= y, X = lnx, A = a, B = b. Y=AX+B - линейная зависимость относительно переменных X и Y.

Определим коэффициенты, пользуясь таблицей:

X lnx1 lnx2 ... lnxn
Y y1 y2 ... yn

После того как коэффициенты A и B найдены по методу наименьших квадратов, коэффициенты a и b находятся по формулам: a = A, b = B.

Варианты заданий

Использую таблицу, определить параметры по способу наименьших квадратов. Найти эмпирическую функцию в виде: Y =.

  x Варианты
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 8.7000 8.9287 9.1376 9.3297 9.5075 9.6731 9.8280 9.9735 10.1107 10.2404 10.3636 1.2000 1.6289 2.0204 2.3806 2.7141 3.0246 3.3150 3.5878 3.8450 4.0883 4.3192 7.6000 8.1242 8.6028 9.0430 9.4506 9.8301 10.1850 10.5185 10.8328 11.1302 11.4123 6.1000 6.3192 6.5193 6.7034 6.8739 7.0326 7.1810 7.3204 7.4519 7.5763 7.6942 8.1000 8.5480 8.9569 9.3331 9.6814 10.0057 10.3090 10.5940 10.8626 11.1167 11.3578 3.2000 3.7909 4.3304 4.8267 5.2861 5.7139 6.1140 6.4899 6.8443 7.1795 7.4975

 

  x Варианты
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 4.1000 4.8053 5.4492 6.0415 6.5899 7.1004 7.5780 8.0266 8.4496 8.8497 9.2293 2.2000 3.0483 3.8227 4.5350 5.1946 5.8086 6.3830 6.9226 7.4313 7.9125 8.3690 1.6000 2.4864 3.2956 4.0400 4.7292 5.3708 5.9710 6.5348 7.0664 7.5692 8.0463 1.8000 2.8008 3.7144 4.5548 5.3330 6.0574 6.7350 7.3716 7.9718 8.5395 9.0780 3.1000 4.2056 5.2149 6.1434 7.0031 7.8034 8.5520 9.2553 9.9183 10.5455 11.1405 1.3000 2.5200 3.6337 4.6583 5.6068 6.4900 7.3160 8.0920 8.8237 9.5157 10.1723

 

  x Варианты
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 1.8000 3.1057 4.2978 5.3944 6.4097 7.3549 8.2390 9.0696 9.8527 10.5934 11.2961 2.5000 2.9003 3.2658 3.6019 3.9132 4.2030 4.4740 4.7286 4.9687 5.1958 5.4112 8.2000 8.7528 9.2575 9.7217 10.1515 10.5517 10.9260 11.2776 11.6092 11.9228 12.2203 1.9000 2.5481 3.1398 3.6841 4.1880 4.6572 5.0960 5.5083 5.8969 6.2646 6.6134 1.7000 2.3767 2.9945 3.5628 4.0890 4.5788 5.0370 5.4675 5.8733 6.2572 6.6213 1.1000 1.9387 2.7044 3.4088 4.0610 4.6681 5.2360 5.7695 6.2725 6.7483 7.1997

 

  x Варианты
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.3000 3.1673 3.9591 4.6875 5.3619 5.9897 6.5770 7.1287 7.6489 8.1409 8.6076 7.8000 8.0002 8.1829 8.3510 8.5066 8.6515 8.7870 8.9143 9.0344 9.1479 9.2556 6.6000 6.7144 6.8188 6.9148 7.0038 7.0866 7.1640 7.2368 7.3053 7.3702 7.4318 7.7000 7.8239 7.9370 8.0411 8.1374 8.2271 8.3110 8.3898 8.4641 8.5344 8.6011 4.4000 4.5334 4.6553 4.7673 4.8711 4.9677 5.0580 5.1429 5.2229 5.2986 5.3704 5.5000 5.6430 5.7735 5.8935 6.0047 6.1082 6.2050 6.2959 6.3817 6.4628 6.5397

 

  x Варианты
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 3.2000 3.6861 4.1298 4.5381 4.9160 5.2679 5.5970 5.9062 6.1977 6.4735 6.7351 3.3000 3.8051 4.2663 4.6905 5.0833 5.4490 5 7910 6.1123 6.4153 6.7018 6.9737 3.4000 3.9051 4.3663 4.7905 5.1833 5.5490 5.8910 6.2123 6.5153 6.8018 7.0737 3.5000 4.0242 4.5028 4.9430 5.3506 5.7301 6.0850 6.4185 6.7328 7.0302 7.3123 3.6000 4.1337 4.6210 5.0692 5.4842 5.8706 6.2320 6.5715 6.8916 7.1944 7.4816 3.7000 4.2433 4.7392 5.1955 5.6179 6.0112 6.3790 6.7246 7.0504 7.3586 7.6509