Примеры решения задач. Задача 1. Движение материальной точки задано уравнением (м)
Задача 1. Движение материальной точки задано уравнением 
(м). Определить скорость точки в моменты времени t1=2 с и
t2=4 с, а также среднюю скорость в интервале времени от t1 до t2.
Решение:
Точка прямолинейно движется вдоль оси OX. Модуль мгновенной скорости в этом случае
(м/с).
Найдем 
V1 и V2:
, 
м/с;
, 
м/с.
Средняя скорость
где 
м/с.
Ответ: V1=7 м/с, V2=11,4 м/с, м/с
Задача 2. Тело массой 
кг движется по вертикальной стене. Сила 
действует под углом a = 300 к вертикали. Коэффициент трения 
. Найти величину силы , если ускорение тела направлено вверх и равно a = 2 м/с2 
.
Решение:
 |
На тело действуют четыре силы: сила
, сила тяжести 
, сила реакции опоры 
и сила трения 
. Покажем эти силы на рисунке.
Запишем II закон Ньютона в виде
. (1) Ось OY направим вертикально вверх, ось OX – перпендикулярно стене. В проекциях на оси координат уравнение (1) примет вид
OХ: 
(2)
OY: 
. (3)
Сила трения скольжения
. (4)
Используя (2) и (4), перепишем (3):
.
Отсюда
Н.
Ответ: Н.
Задача 3. Частица массой m1, имеющая скорость V2, налетела на покоящийся шар массой m2 и отскочила от него со скоростью U1 под прямым углом к направлению первоначального движения. Какова скорость U2 шара после соударения? Считать удар центральным.
Решение:
Используя закон сохранения импульса, получим
На рисунке покажем импульсы тел.
 |
Модуль импульса шара найдём, используя теорему Пифагора:
,
отсюда 
Ответ:
Задача 4. Шар массой M висит на нити длиной l. В шар попадает горизонтально летящая пуля и застревает в нём. С какой скоростью V0 должна лететь пуля, чтобы в результате попадания пули шар мог сделать на нити полный оборот в вертикальной плоскости? Размерами шара пренебречь. В верхней точке сила натяжения нити равна нулю. Масса пули m.
Решение:
 |
Обозначим: V – скорость шара с пулей сразу после неупругого соударения, U – скорость шара с пулей в верхней точке.
В проекциях на ось OX закон сохранения импульса имеет вид
mV0 = (m + M) V. (1)
Выберем нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии, совпадающий с осью OX .
В нижнем положении шар с пулей обладает только кинетической энергией 
; в верхней точке - кинетической 
и потенциальной (m+M)gh энергиями, где h = 2R =2l.
Закон сохранения механической энергии запишем в виде
. (2)
После преобразований
. (2¢)
В верхней точке на шар с пулей действует сила тяжести, по условию задачи сила натяжения нити равна нулю. Используем II закон Ньютона:
(3)
где 
Из уравнения (1) выразим V0:
. (4)
Из уравнения (3)
(5)
Подставив (5) в (2¢), получим
Найдем V0 , вернувшись к (4)
Ответ:
Задача 5. По наклонной плоскости, образующей угол a с горизонтом, скатывается без скольжения 1) сплошной однородный диск, 2) шар. Определить линейное ускорение их центров. Предварительно вывести общую формулу.
Решение:
Тело участвует в сложном движении:
1)поступательно движется вниз по наклонной плоскости;
2) вращается вокруг оси, проходящей через центр тяжести.
На рисунке покажем силы, действующие на тело.
 |
Для поступательного движения запишем II закон Ньютона в проекциях на ось OX.
. (1)
Для вращательного движения используем закон
, (2)
где 
- момент инерции, 
- угловое ускорение.
Момент силы 
создает сила трения, плечо которой равно R, две другие силы не создают вращающего момента.
.
Перепишем (2):
.
Выразим силу трения из (3) и подставим в (1):
Отсюда
. (4)
Зная моменты инерции диска и шара
, 
найдем ускорения диска и шара
,
Ответ: 
, 
Задача 6.Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями 
. Найти их относительную скорость.
Решение:
Согласно теореме сложения скоростей в теории относительности,
, где 
-скорости первой и второй частицы; 
- их относительная скорость: С- скорость света в вакууме.
Это означает, что, во первых, ни в какой инерциальной системе отсчёта скорость процесса не может превзойти скорость света, и, во вторых, скорость распространения света в вакууме абсолютна.
Ответ: = 0,91С.
Задача 7.В баллоне объёмом 20 л находится аргон под давлением 1,0 Мпа и температуре 300 К. После того как из баллона было взято 20,0 г аргона, температура в баллоне понизилась до 280 К. Определить давление газа, оставшегося в баллоне.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа, применив его к начальному и конечному состояниям газа:
, (1)
. (2)
Из уравнений (1) и (2) выразим m1 и m2 и найдём их разность:
,
откуда находим
. (3)
Проверку решения проведем по размерности физических величин. В правую часть вместо символов величин подставим их единицы измерения. В правой части два слагаемых. Первое из них имеет размерность давления, так как состоит из двух множителей, первый из которых – давление, а второй – безразмерный. Проверим второе слагаемое:
. 
Вычисления произведём по формуле (3) с учётом, что для аргона 
кг/моль.
Ответ: 875 кПа
Задача 8. Во сколько раз следует изотермически увеличить объем идеального газа в количестве 3 моль, чтобы его энтропия увеличилась на
25 Дж/К?
Решение:
Для обратимого процесса 
,
где 
.
Так как процесс изотермический, то для идеального газа 
, а элементарная работа равна
.
Изменение энтропии 
для изотермического процесса будет равно
.
Из последнего соотношения находим
.
Показатель экспоненты – величина безразмерная.
Вычисления: 
.
Ответ: 
.