Элементов в цепи гармонического тока
Комплексным сопротивлением участка цепи гармонического тока называется отношение комплексного напряжения на его концах к комплексному току этого участка цепи :
. (2. 8)
Формулу (2. 8) можно называть выражением закона Ома в комплексной форме. В дальнейшем будем опускать индекс “m”, при необходимости оговаривая, о каком значении тока или напряжения идет речь. Используя комплексную форму записи напряжения и тока, выражение (2. 8) можно представить в следующем виде
Величина 
, являющаяся модулем комплексного сопротивления, называется полным сопротивлением.
Величина 
представляет собой разность, или сдвиг фаз напряжения и тока. С учетом этих обозначений последнее выражение перепишем в виде
. (2. 9)
Формула (2. 9) является показательной формой записи комплексного сопротивления. Применяя формулу Эйлера, его можно представить и так :
. (2. 10)
Это алгебраическая форма записи комплексного сопротивления. Вещественная часть формулы (2. 10) 
называется активным сопротивлением, а мнимая часть 
- реактивным сопротивлением. Если известны rи x, то полное сопротивление определяется как 
, а угол сдвига фаз через соотношение 
.
Пример. Напряжение и ток на участке цепи изменяются по закону 
. Определить комплексное сопротивление цепи.
Oм ;
z = 100 Ом; r = 87 Ом; x = -50 Ом.
Из этого примера видно, что реактивное сопротивление может быть отрицательным. Комплексное сопротивление цепи зависит от схемы цепи и типа элементов. Наиболее просто определять комплексное сопротивление и ток в цепи, состоящей из последовательно включенных элементов (рисунок 2. 5) .
Рисунок 2.5
Как было показано, комплексное напряжение на зажимах цепи, состоящей из последовательно включенных элементов, равно сумме комплексных напряжений на отдельных элементах : 
. По определению (2. 8) напряжение на каждом элементе связано с током соотношением 
. Поэтому 
; отсюда следует, что комплексное сопротивление последовательного соединения элементов равно сумме комплексных сопротивлений отдельных элементов
. (2. 11)
Все случаи последовательного соединения исчерпываются последовательным соединением сопротивления, индуктивности и емкости. Поэтому достаточно найти комплексные сопротивления этих элементов и затем комплексное сопротивление их последовательного соединения. На основании закона Ома для идеального резистора
.
Из этого выражения видно, что напряжение на резисторе по фазе совпадает с током. Переходя к комплексному изображению тока и напряжения, запишем 
. Таким образом, комплексное сопротивление идеального резистора равно r :
. (2. 12)
Если через идеальную катушку индуктивности протекает гармонический ток 
, то согласно формуле (1. 5) , напряжение на ней будет также гармоническим :
.
Из этих выражений следует, что напряжение на индуктивности по фазе опережает ток на 
. Величина 
имеет размерность напряжения, а произведение 
- размерность сопротивления. Величина 
называется индуктивным сопротивлением. Комплексная форма записи 
имеет вид
.
Учитывая, что 
, последнее выражение можно записать так
. (2. 13)
Из формулы (2. 13) следует, что комплексное сопротивление индуктивности равно
. (2. 14)
Напряжение на идеальном конденсаторе при протекании через него гармонического тока найдем с помощью выражения (1. 4)
.
Таким образом, напряжение на емкости отстает от тока по фазе на 
. Величина 
имеет размерность сопротивления и называется емкостным сопротивлением.
Комплексное напряжение на емкости представляется выражением
или 
. (2. 15)
Комплексное сопротивление емкости
. (2. 16)
Обратимся теперь к последовательному соединению сопротивления, индуктивности и емкости (рисунок 2. 6). Заметим что в этой схеме сопротивление r может быть не резистором, а активным сопротивлением катушки индуктивности.
Рисунок 2. 6
Используя формулы (2. 11), (2. 12), (2. 14) и (2. 16), найдем комплексное сопротивление этой цепи
,
или
. (2. 17)
Полное сопротивление цепи находим как модуль комплексного сопротивления
, (2. 18)
а фазовый угол можно определить из соотношения
. (2. 19)
С учетом (2. 17) и (2. 18) комплексное сопротивление цепи
. (2. 20)
Как показывает формула (2. 19), угол сдвига фаз может быть положительным 
, при этом ток отстает по фазе от положительного напряжения, и отрицательными 
, при этом ток опережает напряжение. Эти случаи иллюстрируются векторными диаграммами, приведенными на рисунке 2.7, а, б.
а) б) в)
Рисунок 2. 7
Реактивное сопротивление цепи равно 
и может быть положительным и отрицательным. Если цепь представляет собой последовательное соединение нескольких элементов R, C, L, то комплексное сопротивление находят суммированием отдельно активных и реактивных (с учетом знака) сопротивлений. Если в цепи (рис. 2. 6) задан ток 
, то напряжения на элементах цепи будут равны :
; 
;
; 
;
; 
.
Векторная диаграмма тока и напряжений приведена на рисунке 2. 7, в .
Пример. Найти комплексное сопротивление цепи, изображенной на
рисунке 2. 8 .
Рисунок 2. 8
Суммируя активные сопротивления, находим общее активное сопротивление : 
и, суммируя с учетом знака реактивные сопротивления, - общее реактивное сопротивление :
или 
.
Из последнего равенства следует, что если в последовательной цепи имеется несколько индуктивностей и емкостей, то их можно заменить одной индуктивностью и одной емкостью, определяемыми из соотношений :
, 
.
Комплексное сопротивление определяется в соответствии с формулой (4. 17) .