Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка»
Пример 1: Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 
Решение: Для данного эллипса 
и поэтому
Следовательно, фокусы имеют координаты 
и 
, эксцентриситет 
Пример 2: Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса
Решение: Разделив на 36, приведем данное уравнение к виду
Отсюда следует, что большая полуось эллипса 
, а малая полуось 
. При этом ось эллипса и его фокусы расположены на оси 
. Найдем 
по формуле
.
Следовательно, координаты фокусов 
и 
, а его эксцентриситет
Пример 3: Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что его большая полуось 
, а его эксцентриситет 
. Найти расстояние между фокусами эллипса.
Решение: Воспользуемся формулой, выражающей эксцентриситет через отношение полуосей:
, или 
, откуда 
.
В данном случае 
Следовательно, каноническое уравнение эллипса
.
Так как 
, то 
; 
и расстояние между фокусами 
Пример 4: Асимптоты гиперболы имеют уравнения 
, а расстояние между фокусами равно 20. Написать ее каноническое уравнение.
Решение: Разрешим уравнения асимптот относительно 
и, сравнив с общей формулой асимптот, найдем отношение 
к 
:
Кроме того, 
, т.е. 
. Так как для гиперболы 
, то для нахождения и получим систему уравнений
решая которую, найдем 
. Следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид
Пример 5: Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку 
и симметрична относительно оси 
. Написать ее уравнение.
 |
Решение: Так как парабола симметрична относительно оси
и проходит через точку 
с положительной абсциссой, то она имеет вид, представленный на рис.
Подставляя координаты точки в уравнение такой параболы 
, получим 
, т.е. 
.
Следовательно, искомое уравнение
фокус этой параболы 
, уравнение директрисы 