МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ И КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

 

В основе математики лежит понятие множества. Природа элементов абстрактного множества нас не интересует. От элементов требуется только одно, чтобы они подчинялись заданной системе аксиом. Ценность формального определения состоит в том, что оно выявляет общие свойства совершенно, казалось бы, различных математических объектов. Например, числовые множества имеют одинаковые алгебраические свойства. Напомним эти множества.

Натуральные числа.Леопольд Кронекер когда-то произ­нес: «Натуральное число создал господь Бог, все прочие – дело рук человеческих». Натуральный ряд – это числа 1, 2, 3 и т.д. до бесконечности. Обозначение натурального ряда: .

Целые числа – это числа вида n, –n и 0, где n – натуральное число. Все целые числа можно записать так: …, –2, –1, 0, 1, 2, … Отсюда следует, что любое натуральное число является также и целым. Обозначение: .

Рациональные числа – это числа вида p/q, где p и q – целые числа, причем q ≠ 0. Обозначение: . Очевидно, что любое целое число является рациональным.

Действительные или вещественные числа (или континуум)получают из рациональных чисел с помощью некоего предельного процесса. Это наши обычные числа. Обозначение: . Рациональное число всегда действительное. Таким образом,

.

Иррациональные числа. Любая обыкновенная дробь может быть записана в виде бесконечной периодической десятичной дроби. И наоборот, любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой десятичную запись некоторой обыкновенной дроби. А какой смысл могут иметь бесконечные непериодические дроби?

Легко показать, что никакая дробь p/q не может быть корнем уравнения x2 – 2 = 0. Таким образом не является рациональным числом, то есть бесконечной периодической десятичной дробью. Действительные, но не рациональные числа называются иррациональнымичислами. Обозначение: J.

Комплексные числа.Не каждый многочлен с целыми коэффициентами имеет корни среди действительных чисел, например, квадратный двучлен x2 + 1. Добавим к действительным числам некое число i, квадрат которого равен –1: i2 = –1. Число i = называется мнимой единицей.

Полученный таким образом набор чисел вместе с результатами арифметических операций над ними называется комплексными числами:.

Комплексные числа записывают в виде z = x + iy, где x и y – вещественные числа, i – мнимая единица.

x = Re z называется вещественной частью комплексного числа z, y = Im z – мнимой частью.

Комплексно сопряженныминазываются числа, отличающиеся только знаком своей мнимой части z* = x – iy.

Действительные числа – частный случай комплексных при y = 0. Не действительные числа, т. е. комплексные при y ≠0, называются мнимыми.

Любой многочлен с коэффициентами из имеет корень в .

Комплексные числа наглядно изображают на координатной плоскости: на горизонтальной оси лежат вещественные числа Re z, а на вертикальной – мнимые числа Im z.

Модуль числаz равен расстоянию точки, изображающей это число от начала координат .

Для комплексных чисел следующим образом определены операции сложения и умножения:

(х1, у1) + (х2, у2) = (х1+ х2, у1 + у2),

(х1, у1) × (х2, у2) = (х1·x2– у1·у2, х1·у2+ х2·у1).

Частное комплексных чисел равно комплексному числу

.

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:

коммуникативности: z1 + z2 = z2 + z1, z1 ·z2 = z2 ·z1;

ассоциативности: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3),

(z1 · z2) ·z3 = z1 · (z2 · z3);

дистрибутивности: z1 · (z2 + z3) = z1· z2 + z1 · z3.

Два комплексных числа z1 = (х1, у1) и z2 = (х2, у2) равны, если х1 = х2 иу1 = у2.

Существует три формы представления комплексного числа z=(x,y):

алгебраическая z=x+iy,

тригонометрическая z =│z│(cosφ+isinφ),

показательная z =│z│exp(iφ).

Здесь символ exp(iφ) обозначает комплексное число (cosφ+i sinφ), φ называется аргументом (аrg z) комплексного числа и является решением системы уравнений

Все аргументы различаются на целые кратные 2p и обозначаются единым символом Arg z.

Комплексные числа часто встречаются в качестве корней полиномов.

Многочленом (полиномом)n-й степени называется выражение вида:

,

где

Два многочлена и равны, если

.

Многочлены можно складывать, перемножать, делить.

Существуют единственные многочлены и такие, что

или ,

здесь – ненулевой многочлен; или ; .

называют частным от деления на , а – остатком.

Если , то делится на без остатка.

Число называется корнем многочлена , если .

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на равняется значению этого многочлена в точке .

Основная теорема алгебры (теорема Гаусса). Всякий мно­гочлен ненулевой степени имеет по крайней мере один корень.

 

Пример 2. Решить уравнение z3 = 1. Найти модули корней. Отобразить на декартовой плоскости решение уравнения.

Решение.

Здесь – мнимая единица.


1.4 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Rn.
ВЕКТОРЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ.
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ЗАДАННОМ БАЗИСЕ

 

С помощью системы координат удается отождествить вектор или (точку) на плоскости с упорядоченной парой действительных чисел, а в пространстве – с тройкой чисел. Современная физика имеет дело с четырехмерным пространством, где четвертая координата – время. Отвлекаясь от реальных геометрических представлений, можно рассмотреть упорядоченный набор из nдействительных чисел и по аналогии назвать его n-мернымвектором. Числа называются координатами вектора . Количество координат вектора называется размерностью.

Можно исходить и из понятия множества. Декартово произведение множества действительных чисел Rсамо на себя состоит из всевозможных упорядоченных числовых пар и его можно отождествить с плоскостью. Это множество обозначают R2. Множество R´R´R = R3состоит из упорядоченных троек и представляет собой трехмерное пространство. Если осуществить декартово произведение Rсамо на себя n раз, то получим совокупность всех n-мерных векторов – пространствоRn .

Чтобы работать с математическими объектами, необходимо определить операции над ними. Операции над n-мерными векторами вводятся по аналогии с обычными и обладают теми же алгебраическими свойствами. Напомним их:

; ;

;

Всякое множество, для элементов которого определены операции сложения и умножения элементов на число таким образом, что выполняются вышеперечисленные свойства, называется векторным пространством.

На случай n-мерного пространстваRn :

пусть . Тогда

Скалярным произведениемдвух векторов называется число

.

Аналогично длине вектора в трехмерном пространстве определяется норма вектора в Rn - пространстве:

 

Линейная независимость. Базис

Система векторов будет называться линейно зависимой, если найдется набор чисел l1, l2,…, lk, не все из которых равны нулю, такой, что выполняется равенство

.

В противном случае (т.е. ) система называется линейно независимой.

Два ненулевых вектора на плоскости линейно независимы тогда и только, когда они неколлинеарны.

Любые три вектора на плоскости линейно зависимы.

Аналогично для трех- и четырехмерного пространства.

Вообще, любые n+1 векторов пространства Rn линейно зависимы. Так, легко проверить, что система векторов

линейно независима.

Пусть – произвольный вектор. Тогда, очевидно, справедливо равенство

Говорят, что вектор разложен по векторам Эта система векторов называется базисом пространства Rn.

Любые n линейно независимых векторов Rn образуют базис, причем любые m < n линейно независимых векторов базиса Rn не образуют. Таким образом, минимальное количество векторов, которые могут составить базис Rn, равно n.

 

Вектор в косоугольном базисе трех векторов

Пусть задано 4 вектора в декартовой системе координат. Тогда вектор в базисе может быть представлен в виде: .

Если расписать это векторное равенство, то получим систему линейных алгебраических уравнений

По правилу Крамера (см. параграф ниже) можно найти коэффициенты разложения ; i = 1, 2, 3.