Формула Байеса

 

Пусть H1,H2,...,Hn – полная группа событий и АÌW – некоторое событие. Тогда по формуле для условной вероятности

(3)

Здесь P(Hk /A) – условная вероятность события (гипотезы) Hk или вероятность того, что Hk реализуется при условии, что событие А произошло.

По теореме умножения вероятностей числитель формулы (3) можно представить в виде

P(Hk∩A)=P(A∩Hk)=P(A/Hk)P(Hk).

Для представления знаменателя формулы (3) можно использовать формулу полной вероятности

.

Теперь из (3) можно получить формулу, называемую формулой Байеса:

.

По формуле Байеса исчисляется вероятность реализации гипотезы Hk при условии, что событие А произошло. Формулу Байеса еще называют формулой вероятности гипотез.

Пример 15. Из трех урн с шарами вынимается наугад 1 шар, который оказался белым. Найти послеопытную вероят­ность того, что шар вынут из первой урны, если в первой урне 3 белых шара и 1 черный, во второй – 2 белых и 3 черный, в третьей – 3 белых.

Решение. Обозначим за H1 гипотезу – «шар выбран из 1-й урны», соответственно H2 – «шар выбран из 2-й урны» и H3 – «шар выбран из 3-й урны». Гипотезы равноверояны и равны

Определим вероятность гипотезы H1 при условии, что событие А= «вынут белый шар» уже произошло, т.е.