Поведение векторов и на границе двух сред

Рассмотрим границу между двумя диэлектриками с проницаемостями и . Пусть в диэлектриках создано поле, напряженность и электрическая индукция которого в первом диэлектрике равна и , а во втором и .

Возьмем очень малой высоты цилиндр, расположенный на границе раздела двух диэлектриков. Основания цилиндра настолько малы, что в пределах каждого из них поле можно считать однородным. Применим к поверхности цилиндра теорему Гаусса для вектора электрической индукции: , или . Через верхнее основание линии поля входят внутрь поверхности, создавая отрицательный поток, через нижнее основание выходят, создавая положительный поток. Ввиду малости высоты цилиндра потоком через боковую поверхность цилиндра можно пренебречь. Сторонних зарядов на границе между диэлектриками нет, правая часть равенства, поэтому равна нулю. После сокращения на площадь получим: .

Заменив проекции вектора соответствующими проекциями вектора , умноженными на , получим соотношение

,

из которого следует, что

.

Поляризация диэлектриков приводит к тому, что нормальная составляющая вектора напряженности на границе двух диэлектриков скачкообразно изменяется обратно пропорционально относительным проницаемостям этих сред: . Нормальная составляющая вектора электрического смещения не изменяется при переходе границы.

Для изучения поведения тангенциальных составляющих векторов и на границе раздела двух сред, возьмем небольшой ( в пределах однородности поля) прямоугольный контур длины a и очень малой ширины b, который частично проходит в первом диэлектрике, частично — во втором (рис. ). Вследствие потенциальности электрического поля, циркуляция вектора по выбранному нами контуру должна быть равна нулю. , где — среднее значение на перпендикулярных к границе участках контура. В пределе, при стремящейся к нулю ширине контура b, получается равенство

.

Как видим, тангенциальная составляющая вектора не изменяется при переходе границы. Тангенциальные составляющие вектора на границе диэлектрика равны: внутри первого , внутри второго — . Разделив эти уравнения одно на другое и учитывая, что , получим:

.

Тангенциальная составляющая вектора электрического смещения на границе двух диэлектриков скачкообразно изменяется прямо пропорционально относительным проницаемостям этих сред.

 

Изобразим поле на границе раздела двух сред. Пусть линии вектора перпендикулярны границе раздела и . Так как , то , что отмечено на рисунке густотой силовых линий.

Некоторые линии поля претерпевают разрыв.

Величина не изменяется при переходе границы, Линии поля не разрываются.