Краткие сведения из теории

Работа 1. АППРОКСИМАЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ

С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ (МНК)

Цель работы:

¨ Практическиосвоить метод наименьших квадратов и технологию работы с надстройкой «Поиск решения».

¨ Изучить технологию построения линий тренда.

Содержание и порядок выполнения работы

1. Изучить постановку задачи аппроксимации таблично заданных функций и ее решение с помощью метода наименьших квадратов.

2. Из заданий к данной работе записать таблицу исходных данных своего варианта.

3. Подготовить размещение информации на рабочем листе электронных таблиц (ЭТ) для определения коэффициентов аппроксимирующей функции с помощью метода наименьших квадратов.

4. В среде ЭТ Microsoft Excel реализовать МНК с помощью надстройки «Поиск решения».

5. Записать аппроксимирующую функцию с полученными параметрами и в среде Excel вычислить среднеквадратическую погрешность аппроксимации.

6. С помощью мастера диаграмм построить точечную диаграмму функции и линию тренда.

7. Выполнить анализ результатов расчета на основе сравнения выражений аппроксимирующих функций, полученных в пунктах 5 и 6.

8. Оформить и защитить отчет.

Краткие сведения из теории

Как известно, функциональная зависимость от может быть задана не только в аналитическом виде, т.е. в виде математической формулы, но и в графическом виде или в виде таблицы. В последнем случае, наиболее распространенном на практике, дискретному множеству значений аргумента поставлено в соответствие множество значений ( ). Однако использование такой зависимости как исходных данных для принятия решений затруднительно. Получить значения функции при других значениях, не вошедших в множество , можно только путем дополнительных и сложных расчетов, если нам все же известна зависимость , но она слишком громоздка. Не менее сложна ситуация, когда речь идет о результатах экспериментальных исследований, собранных в таблице. В этом случае получить дополнительно промежуточные данные можно только путем проведения новых экспериментов, что может быть непросто и дорого. Естественно возникает необходимость приблизить (аппроксимировать) реальную таблично заданную зависимость от аппроксимирующей функцией. Такая задача называется приближением функции и состоит в замене по определенному правилу функции близкой к ней в том или ином смысле функцией из заранее фиксированного множества.

В общей задаче приближения функции можно выделить частные задачи, основными среди которых являются задача выбора приближающего множества и выбор метода приближения. При выборе приближающего множества руководствуются стремлением к простым по структуре и удобным для вычислений аппроксимирующим функциям . Классическим является выбор алгебраических и тригонометрических многочленов, что обусловлено принципиальной возможностью приблизить ими непрерывную функцию с любой заданной точностью. Причем на практике используют многочлены по возможности меньшей степени. При выборе метода приближения стремятся обеспечить высокую точность аппроксимации. Это возможно, если функцию на рассматриваемом отрезке приближать в целом с определенной мерой погрешности. Чаще всего используют среднеквадратическое приближение с мерой погрешности

.

Степень аппроксимирующего многочлена

(1)

выбирается из условия достижения погрешностью приближения допустимого значения:

.

Если , степень многочлена увеличивается.

Пусть в результате эксперимента, состоящего из опытов, получена таблица 1 значений параметра при изменении другого параметра в заданных пределах.

Таблица 1. Результаты эксперимента.

Задача сводится к определению коэффициентов наилучшим образом, т.е. установления таких значений этих параметров, при которых построенная по формуле (1) кривая имела бы минимальные отклонения от всех экспериментальных точек.

Существует много методов определения параметров аппроксимирующей функции, но чаще всего используют метод наименьших квадратов. Рассмотрим суть этого метода на примере многочлена второй степени

. (2)

Обозначим через разность между значениями аппроксимирующей функции и таблично заданной функции для каждого таблично заданного значения аргумента (рис. 1):

(3)

Эта разность называется отклонением значения аппроксимирующей функции от табличного значения в точке . Следовательно, кривая должна проходить так, чтобы ее отклонения от табличных данных, т.е. от

Рис. 1. Отклонения аппроксимирующей функции

В методе наименьших квадратов неизвестные коэффициенты выбирают так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной, т.е. чтобы функция

(4)

принимала минимальное значение.

Условие минимума суммы самих отклонений, а не их квадратов, не решает проблемы, так как сумма отклонений может быть очень малой и тогда, когда отдельные отклонения очень велики, но имеют разные знаки и взаимно компенсируют друг друга.

Так как и известны, то сумма (4) есть функция параметров . Обозначим ее через . Эта сумма всегда положительна и имеет минимум. Для рассматриваемого случая сумма имеет вид:

(5)

Таким образом, необходимо найти такие значения и , при которых функция достигает минимума. Это обычная задача определения экстремума функции трех переменных без ограничений и может быть решена средствами надстройки Excel «Поиск решения».

В терминах «Поиска решения» функция является функцией цели, а ее адрес в Excel - целевая ячейка. Адреса параметров и - изменяемые ячейки. Ограничений нет. Задача состоит в установлении в целевой ячейке минимального значения функции . В результате решения задачи в ячейках, отведенных под и , появятся их значения, при которых функция достигает минимума, а в целевой ячейке - минимальное значение функции .

Пример 1.Пусть требуется подобрать аппроксимирующий многочлен по значениям коэффициента надежности в зависимости от размера партии выпускаемых изделий, приведенными в таблице 2.

Таблица 2. Значения коэффициента надежности в зависимости от размера партии изделий

Размер партии, шт.
	1,45	1,32	1,20	1,14	1,10	1,06	1,04

Чтобы использовать надстройку «Поиск решения» для решения этой задачи, необходимо предварительно выполнить следующие действия:

1. Выбрать на рабочем листе ЭТ ячейки, в которых будут размещены исходные данные и результаты решения задачи (см. рис.2). Как видно из рис.2, исходные данные расположены в таких ячейках: значения аргумента (размер партии изделий) - в ячейках ; значения функции (коэффициент надежности ) - в ячейках . Для размещения искомых величин выделены следующие ячейки: значения коэффициентов аппроксимирующего многочлена расположены в ячейках соответственно (до применения метода оптимизации эти ячейки будут пустыми); значение целевой функции находится в ячейке (до применения метода оптимизации в этой ячейке будет ); среднеквадратическая погрешность находится в ячейке . Кроме того, на рабочем листе отведены также ячейки для вспомогательных величин: ячейки - для значений ; диапазон ячеек - для значений аппроксимирующей функции в точках ; ячейки - для отклонений значений аппроксимирующей функции от табличных значений ; диапазон - для квадратов этих отклонений.

Рис.2. Размещение информации на рабочем листе ЭТ

2. Ввести в выбранные ячейки исходные данные и расчетные формулы согласно таблице 3.

Таблица 3. Расчетные формулы к рис.2

Примечания.

1. Символ ß в ячейке таблицы 3 означает, что указанную выше в соответствующем столбце формулу, следует скопировать в эту ячейку.

2. Рассмотренное выше размещение информации на рабочем листе имеет место только для рассматриваемого примера. Для другого варианта задания оно может быть другим.

12
• 3
• Далее ⇒