Способом
Рассмотрим систему n линейных уравнений c n неизвестными:
(1)
Это частный случай СЛУ, в которой число уравнений m равно числу неизвестных n. Заметим, что только при выполнении этого условия применим матричный метод.
По правилу умножения матриц систему (1) можно записать в виде матричного уравнения
А×Х = С, (2)
где А - заданная матрица (основная матрица системы);
С - заданный вектор-столбец свободных коэффициентов;
Х - неизвестный вектор-столбец.
Решением матричного уравнения (2) является такой вектор-столбец Х, который обращает уравнение (2) в тождество.
Воспользуемся обратной матрицей для решения матричного уравнения (2), а следовательно, и системы линейных уравнений (1).
Умножим уравнение (2) слева на А -1, получим:
А -1×А ×Х = А -1×С Þ
Е ×Х = А -1×С Þ
Х = А -1×С. (3)
Таким образом, (3) - решение уравнения (2), так как, подставив (3) в (2), получим верное тождество:
А ×(А -1× С) = С Þ
А ×А -1× С = С Þ
Е ×С = С Þ С = С.
Поскольку обратную матрицу можно найти только при условии, что det A = D ¹ 0, то и сам матричный способ решения системы линейных уравнений можно применять при выполнении этого условия.
Пример.Решите систему уравнений матричным способом:
Решение. 1) Введём обозначения:
А = 
; С = 
.
2) Вычислим det A = D = 10.
3) Найдём обратную матрицу А-1.
Для этого сначала вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:
А11 = 
= - 11; А12 = - 
=13; А13 = 
= 2;
А21 = - 
= 5; А22 = = - 5; А23 = - 
= 0;
А31 = 
= 16; А32 = - 
= - 8; А33 = 
= - 2.
Запишем новую матрицу, составленную из алгебраических дополнений:
= 
.
Транспонируем матрицу :
Т= 
.
Получим обратную матрицу А-1:
А-1= Т 
.
4) Найдём решение системы уравнений в виде вектор-столбца:
Х = А -1×С = × = 
.
Таким образом, решением заданной системы уравнений являются следующие значения:
x = 0.8; у = - 0.4; z = 0.4.