Кооперативные игры

Не всегда стороны, участвующие в конфликте преследуют прямо противоположные интересы, тогда конфликт перестает быть антагонистическим, и игрокам может быть выгодно, кооперироваться, т.е. объединив свои усилия, найти согласованное решение, которое приведет к увеличению выигрыша каждого из игроков – участников конфликта.

Кооперативной игрой двух лиц называется игра с непостоянной суммой, в которой игрокам разрешается обсуждать перед игрой свои стратегии и договариваться о совместных действиях, образуя коалиции.

Пример. Два человека находятся в горящей комнате, дверь которой закрыта очень плотно; ни один из них не в состоянии самостоятельно открыть эту дверь. Если они объединят усилия, то смогут сделать это и выйти из горящей комнаты.

Решение. Каждый из игроков имеет две стратегии:

1) «толкать дверь»;

2) « не толкать».

Если оба игрока применят первую стратегию, то они смогут выйти из горящей комнаты и их выигрыш будет равен 100 условных единиц.

Если они выбирают любую другую комбинацию стратегий, то они не смогут выйти из комнаты и их выигрыш будет равен 0.

Игры «с природой»

Пусть лицо, принимающее решение, имеет т стратегий: Т1, Т2, ..., Тт и имеется n возможных состояний природы: П1, П2, ..., Пn. Так как природа не является заинте­ресованной стороной, исход любого сочетания поведения сторон можно оценить выигрышем Вij первой стороны для каждой пары стратегий Тi и Пj. Все показатели игры заданы платежной матрицей {Вij}mxn. Если вероятности появления того или иного состояния природы не известны, то такие условия принятия решений называются условиями полной неопределенности.

По платежной матрице можно принять ряд решений. Например, оценить возможные исходы: минимальный выигрыш

то есть наименьшая из величин в каждой i-й строке как пессимистическая оценка; максимальный выиг­рыш – то наилучшее, что дает выбор i-го варианта

.

При анализе «игры с природой» вводится показатель, по которому оценивают, насколько то или иное состо­яние «природы» влияет на исход ситуации. Этот по­казатель называют риском.

Риск rij при пользовании стратегией Тi и состоянии «природы» Пj оценивается разностью между максималь­но возможным выигрышем , который мог бы получить игрок, принимающий решение, достоверно зная, что «природой» будет реализовано именно состояние Пj и выигрышем Вij, который он получит, используя стратегию Тi, не зная, какое из состояний Пj природа реализует:

rij = В - Вij.

Исходя из этого определения, можно оценить мак­симальный риск каждого состояния природы:

Для принятия решений анализируются следующие критерии:

1. Максиминный критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма).Здесь выбирается такое решение, при котором гарантируется максимальный выигрыш в наихудших условиях внешней среды (состояния «при­роды»):

.

2. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица.

При выборе решения вместо двух крайностей в оценке ситуации (оптимизм-пессимизм) придерживаются некоторого ком­промисса, учитывающего возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения «природы». В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения будет линейная комбинация минимального и макси­мального выигрышей. Выбирается тот, для которого эта величина окажется наибольшей:

,

где – показатель пессимизма-оптимизма от 0 до 1 (чаще всего 0,5). Причем, если , то данный критерий превращается в критерий Вальда – крайнего пессимизма: выбирается решение, приносящее наибольший гарантированный доход. Если , то данный критерий превращается в критерий крайнего оптимизма : выбирается решение, приносящее максимальный доход.

3. Критерий минимаксного риска Сэвиджа. Выбирают ту стратегию, при которой величина риска имеет минимальное значение в самой неблаго­приятной ситуации:

чтобы избежать слишком большого риска при выборе решения.

4. Критерий, основанный на известных вероятност­ных состояниях «природы».Если известны вероятности состояний природы (на­пример, спроса по данным анализа за прошлые годы), т.е. мы принимаем решение в условиях частичной неопределенности или в условиях риска:

Р1 = Р(П1); Р2 = Р(П2); ...; Рп = Р (Пn),

полагая, что Р1 + Р2 + ... + Рj + ... + Рп = 1.

Тогда в качестве показателя эффективности (рацио­нальности, обоснованности) стратегии Тi берется среднее (математическое ожидание) – выигрыш применения этой стратегии:

а оптимальной считают стратегию, для которой этот показатель эффективности имеет максимальное значе­ние, то есть

.

Если каждому решению Тi соответствует множество возможных результатов Вij с вероятностями Рij, то математическое ожидание (сред­нее значение) выигрыша определится

,

а оптимальная стратегия выбирается по условию

В этом случае можно также воспользоваться и стратегией минимального математического ожидания риска для каждого i-го состо­яния «природы»

.

Комплексный анализ всех этих критериев позволяет в какой-то мере оценить возможные последствия при­нимаемых решений.

5. Оптимальность по Парето. Решается двухкритериальная задача:

.

пусть имеется множество решений (стратегий), которые характеризуются двумя характеристиками и . Разные решения отличаются хотя бы одной характеристикой. Есть два способа решения этой задачи:

а) графический: стоится график зависимости математического ожидания доходности от математического ожидания риска . За оптимальное решение выбирается точка, расположенная на графике как можно выше и левее, т.е. имеющая наибольшие математическое ожидание доходности и наименьшее математическое ожидание риска. В нашем случае за наилучшее решение можно выбрать А8.

б) аналитический: задается формула, связывающая математические ожидания риска и доходности: , и – коэффициенты, определяемые субъективно, например . Оптимальным решением является решение соответствующее максимуму данной функции: .

Контрольные вопросы:

1. Что изучает теория игр?

2. Приведите классификацию теории игр.

3. Опишите решение матричной игры в чистых стратегиях.

4. Опишите решение матричной игры в смешанных стратегиях.

5. Как задачу теории игр можно свести к задаче линейного программирования?

6. Что называется кооперативной игрой? Приведите примеры.

7. В чем заключается игра «с природой»?

Литература:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2.

5. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006.

6. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.