Метод Гаусса. 1 страница
Пусть дана система №9. Идея метода состоит в следующем: пусть коэффициент при 
в первом уравнении системы №1 
.
1) Исключим неизвестное из всех уравнений системы, кроме первого. Для этого прежде всего разделим обе части уравнения сист-мы№1 на коэффициент 
. Получим новую систему, равносильную данной.
2) Умножим первое уравнение на 
и вычтем его из второго уравнения системы; затем умножим первое уравнение на 
и вычтем его из третьего уравнения и т. д. В результате этого шага приходим к системе вида №2:
, где 
---(10)
3) Исключим 
из всех уравнений системы №2, кроме первого и второго. Для этого разделим обе части второго уравнения системы №2 на 
; затем умножим второе уравнение последовательно на 
и вычтем поочередно из соответствующих уравнений, кроме 1-го и 2-го.
4) Продолжая этот процесс далее, мы придем либо к системе вида:
--- (11) в случае ее совместности, либо к системе вида:
---(12)
5) система вида (11) называется ступенчатой, система вида (12) – треугольной. В случае системы (12) из последнего уравнения определяется 
, подставляется в предыдущее уравнение системы (12), определяем 
неизвестное и т. д. из 1-го уравнения найдем 
неизвестное.
В случае системы (11) имеем систему совместную, но не определенную, которая имеет 
множество решений. Выделяем базисный минор и базисные неизвестные, остальные неизвестные назовем свободные и приведем систему (11) к виду (12).
Все выше указанные описания на практике производят над матрицами, составленными из коэффициентов перед неизвестными и столбца свободных коэффициентов.
Пример 22: 1) Исследовать систему, и в случае ее совместности найти решение 
Решение: 
~ 
~
~ 
- свободные переменные
последней матрице соответствует система 
равносильная исходной 
Вариант 1
А1. Вычислить определитель:
а) 
б) 
.
А2. Решить уравнение:
.
А3. Вычислить определитель, пользуясь правилом треугольника:
.
А4. Найти алгеброические дополнения элементов 
и 
определителя (см. задачу А3).
А5. Вычислить определитель, используя подходящее разложение по строке или столбцу: 
.
А6. Решить систему уравнений с помощью правила Крамера.
а) 
| б) 
|
А7. Найти матрицу 
, полученную путем преобразований матриц 
и 
:
.
; 
А8. Вычислить: 
.
А9. При каких значениях 
матрица не имеет обратную?
А10. Решить матричное уравнение: 
А11. При каких значениях матрица имеет ранг, равный 1?
В1. Вычислить определитель, предварительно обратив в нуль все, кроме одного, элемента какой-либо строки (столбца):
.
В2. Вычислить определитель приведением их методом Гаусса к треугольному виду.
а) 
| б) 
|
В3. Умножить матрицы:
В4. При каких значениях матрицы перестановочны?
В5. Найти обратную матрицу:
В6. Найти ранг матрицы методом Гаусса:
В7. Решить методом Гаусса систему уравнений:
.
С1. Умножить матрицы:
.
С2. Решить матричным методом систему уравнений из задачи А6 (б).
Найдём определитель матрицы системы
detA= 
=-3≠0, значит, к системе применим матричный метод. Находим обратную матрицу 
:
=- 
Запишем решение системы в матричной форме
=- × 
=- 
= 
Следовательно, 
=2, 
=-5, 
=3.
С3. Решить методом Гаусса системы уравнений:
а) 
Преобразуем расширенную матрицу системы:
 
(чтобы получить на диагонали элемент, отличный от нуля, приходится изменить порядок неизвестных)
Полученной матрице
соответствует система
Система неопределенна (r = 3 < n = 5). Неизвестные , ,  – базисные,  , - свободные. Последовательно находим:
= -13 - 2; = -2 -9 +2=
= -2(-13 -2) -9 +2=17 +6;
= + 2 +4 - +1=
=17 +6+2(-13 -2)+4 - +1=
= -5 - +3
Полагая = u, = ѵ, получаем общее решение системы в виде
= -u+5ѵ+3, =u, =17ѵ+6, =13ѵ-2, = ѵ
б)
Преобразуем расширенную матрицу системы:
Здесь последовательно выполнили следующие преобразования:
1) Переставили первую и четвертую строки; первую строку, умноженную на 3,2,7, вычли поочередно из второй, третьей, четвертой строк,
2) Вторую строку разделили на 2; вторую строку, умноженную на 1, затем 5, вычли поочередно из третьей, затем четвертой строк.
Последней матрице соответствует система
(Уравнение 0=0, соответствующее третьей строке матрицы, отброшено). Мы пришли к системе, содержащей противоречивое уравнение 0=9. Ранги основной матрицы системы и расширенной матрицы не равны. Система несовместима.
| |
в)  .
Однородная система всегда имеет решение. Если определитель основной матрицы системы равен нулю, то система имеет множество решений. Если же определитель не равен нулю, то система имеет единственное нулевое решение.
С помощью элементарных преобразований получим: 
|
Будем считать базисными переменными 
, а свободными 
. Имеем систему
Отсюда получим решение:
Вариант 2
А1. Вычислить определитель:
а) 
б) 
.
А2. Решить уравнение:
.
А3. Вычислить определитель, пользуясь правилом треугольника:
.
А4. Найти алгеброические дополнения элементов и определителя (см. задачу А3).
А5. Вычислить определитель, используя подходящее разложение по строке или столбцу:
.
А6. Решить систему уравнений с помощью правила Крамера.
а) 
| б) 
|
А7. Найти матрицу , полученную путем преобразований матриц и :
.
;
А8. Вычислить:
.
А9. При каких значениях матрица не имеет обратную?
А10. Решить матричное уравнение:
.
А11. При каких значениях матрица имеет ранг, равный 1?
В1. Вычислить определитель, предварительно обратив в нуль все, кроме одного, элемента какой-либо строки (столбца):
.
В2. Вычислить определитель приведением их методом Гаусса к треугольному виду.
а) 
| б) 
|
В3. Умножить матрицы:
.
В4. При каких значениях матрицы перестановочны?
В5. Найти обратную матрицу:
.
В6. Найти ранг матрицы методом Гаусса:
.
В7. Решить методом Гаусса систему уравнений:
.
С1. Умножить матрицы:
* 
.
С2. Решить матричным методом систему уравнений из задачи А6 (б).
С3. Решить методом Гаусса системы уравнений:
а)  ,
| б) 
|
в)  .
|
Вариант 3
А1. Вычислить определитель:
а) 
б) 
.
А2. Решить уравнение:
.
А3. Вычислить определитель, пользуясь правилом треугольника:
.
А4. Найти алгеброические дополнения элементов и определителя (см. задачу А3).
А5. Вычислить определитель, используя подходящее разложение по строке или столбцу:
.
А6. Решить систему уравнений с помощью правила Крамера.
а) 
| б) 
|
А7. Найти матрицу , полученную путем преобразований матриц и :
.
;
А8. Вычислить:
.
А9. При каких значениях матрица не имеет обратную?
А10. Решить матричное уравнение:
.
А11. При каких значениях матрица имеет ранг, равный 1?
В1. Вычислить определитель, предварительно обратив в нуль все, кроме одного, элемента какой-либо строки (столбца):
.
В2. Вычислить определитель приведением их методом Гаусса к треугольному виду.
а) 
| б) 
|
В3. Умножить матрицы:
.
В4. При каких значениях матрицы перестановочны?
В5. Найти обратную матрицу:
.
В6. Найти ранг матрицы методом Гаусса:
.
В7. Решить методом Гаусса систему уравнений:
.
С1. Умножить матрицы:
.
С2. Решить матричным методом систему уравнений из задачи А6 (б).
С3. Решить методом Гаусса системы уравнений:
а)  ,
| б) 
|
в)  .
|
Вариант 4
А1. Вычислить определитель:
а) 
б) 
.
А2. Решить уравнение:
.
А3. Вычислить определитель, пользуясь правилом треугольника:
.
А4. Найти алгеброические дополнения элементов и определителя (см. задачу А3).
А5. Вычислить определитель, используя подходящее разложение по строке или столбцу:
.
А6. Решить систему уравнений с помощью правила Крамера.
а) 
| б) 
|
А7. Найти матрицу , полученную путем преобразований матриц и :
.
;
А8. Вычислить:
.
А9. При каких значениях матрица не имеет обратную?
А10. Решить матричное уравнение:
.
А11. При каких значениях матрица имеет ранг, равный 1?
В1. Вычислить определитель, предварительно обратив в нуль все, кроме одного, элемента какой-либо строки (столбца):
.
В2. Вычислить определитель приведением их методом Гаусса к треугольному виду.
а) 
| б) 
|
В3. Умножить матрицы:
.
В4. При каких значениях матрицы перестановочны?