Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
Итак:
k1,2 | Частные решения | Общие решения |
D > 0, k1 ¹ k2 | ![]() | ![]() |
D = 0, k1 = k2 | ![]() | ![]() |
D < 0, k1,2 = a ± b×i | ![]() | ![]() |
Пример:
1) Найти общее решение уравнения.
2) Найти общее решение уравнения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если равенство a1×y1 + a2×y2 + … + an×yn = 0 выполняется только в том случае, когда a1 = a2 = … an = 0, то функции y1, y2, …, yn называются линейно независимыми.
ТЕОРЕМА: Если функции y1, y2, …, yn – линейно независимые решения уравнения a1×y(n) + a2×y(n–1) + an×y = 0, то его общее решение имеет вид y = c1×y1 + c2×y2 + … + cn×yn.
Пример:
Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
ТЕОРЕМА о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами: Общее решение y можно представить как сумму , где
– общее решение соответствующего однородного уравнения
– частное решение исходного неоднородного уравнения.
Доказательство.