Теоретические упражнения
- 12
1. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства пространства
, если
задано уравнением
.
2. Доказать, что все симметрические матрицы третьего порядка образуют линейное подпространство всех квадратных матриц третьего порядка. Найти базис и размерность этого подпространства.
3. Найти координаты многочлена в базисе
4. Линейный оператор в базисе
имеет матрицу
Найти матрицу этого же оператора в базисе
5. Найти ядро и область значений оператора дифференцирования в пространстве многочленов, степени которых меньше или равны трем.
6. Пусть и
— собственные векторы оператора
, относящиеся к различным собственным значениям. Доказать, что вектор
не является собственным вектором оператора
.
7. Пусть ,
. Будет ли оператор
самосопряженным?
8. Доказать, что если матрица оператора — симметрическая в некотором базисе, то она является симметрической в любом базисе (базисы — ортонормированные).
- 12