Примеры. 1. Найти линейную комбинацию векторов :
1. Найти линейную комбинацию векторов 
:
а) 
;
б) 
.
Решение:
а) 
.
2.Найтивектор 
, для которого выполняются условия:
а) 
где 
б) 
где 
.
Решение:
а) Подставим в выражение координаты данных векторов: 
.
Выполним скалярное умножение и представим 
как вектор с координатами 
:
.
б) Пусть 
. Подставим в выражение координаты данных векторов: 
Выполнив скалярное умножение, получим систему уравнений:
.
Следовательно, 
.
3.Описать линейные оболочки системы векторов:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
Решение:
а) 
– система векторов, у которой вторая и четвертая координаты равны 0.
в) 
– система векторов, у которой четвертая координата зависит от второй, пятая – от первой и четвертой.
4.а)Доказать, что система векторов, содержащая два одинаковых вектора, линейно зависима.
б) Доказать, что система векторов, содержащая два пропорциональных вектора, линейно зависима.
Решение:
а) Пусть 
– система векторов. Учитывая условие задачи, рассмотрим 
. Составим линейную комбинацию этой системы: 
, где 
и не все 
равны 0.
Например, 
, то есть 
, значит, система векторов линейно независима.
5. 
-линейно независимая система векторов. Определить будут ли линейно зависимыми или линейно независимыми следующие системы:
а) 
;
б) 
.
Решение:
а) Составим линейную комбинацию системы векторов и выясним, при каких 
она обращается в : 
Таким образом, получили, что – линейно независимая система векторов.
6.Будет ли система векторов 
из 
, где 
, линейно зависимой или линейно независимой?
Решение:
Составим линейную комбинацию системы векторов и выясним, при каких 
она обращается в :
.
Решим систему уравнений:
.
Значит, – линейно независимая система векторов.
7.Проверить будет ли система векторов 
, где 
линейно независимой или линейно зависимой.
Решение:
Данная система векторов называется системой единичных векторов n-мерного векторного пространства. Составим линейную комбинацию системы векторов и выясним, при каких 
она обращается в : 
.
Следовательно, – линейно независимая система векторов.