Прямая система дифференциальных уравнений
с начальными условиями 
Иногда удобно записывать системы уравнений Колмогорова в матричной форме. Введем матрицу вероятностей переходов 
для однородной цепи Маркова с непрерывным временем и конечным числом состояний, тогда системы уравнений можно записать в виде
– прямая,
– обратная.
Обратная система уравнений применяется обычно для нахождения значений функционалов от цепей Маркова, прямую систему уравнений можно применять для нахождения безусловного распределения вероятностей 
состояний системы в произвольный момент времени.
Пример. Пусть 
является однородной цепью Маркова с двумя состояниями, 
. Время пребывания в состоянии 
распределено по экспоненциальному закону с параметром 
,а время пребывания в состоянии 
распределено по экспоненциальному закону с параметром 
. Составить прямую и обратную системы дифференциальных уравнений Колмогорова. Найти матрицу вероятностей переходов из состояния 
в 
, 
.
Решение:
Пусть 
– случайная величина, характеризующая время пребывания в состоянии , тогда 
–вероятность того, что цепь Маркова за время 
перейдет из состояния в состояние ,а 
– вероятность того, что цепь Маркова за время не изменит своего состояния.
Аналогично, пусть 
– случайная величина, характеризующая время пребывания в состоянии , тогда
,
.
Находим матрицу инфинитезимальных характеристик 
:
,
,
,
.
Составим прямую систему дифференциальных уравнений Колмогорова:
(1)
(2)
(3)
(4)
Обратная система дифференциальных уравнений Колмогорова будет иметь вид:
,
,
,
.
Начальные условия:
Решая пары уравнений (1-2) и (3-4) находим искомые вероятности. Из первого уравнения получаем 
, подставляем в (2):
,
получаем дифференциальное уравнение второго порядка:
.
Откуда находим 
и, учитывая начальные условия, получаем 
,
.
Аналогично, находим
,
.
Задание: убедитесь, что полученное решение обращает в тождество и обратную систему дифференциальных уравнений Колмогорова.
Для рассмотренного примера решим задачу нахождения безусловных вероятностей состояний системы в произвольный момент времени.
Для вероятностей 
и 
– методом составим прямую систему Колмогорова. Учитывая, что
,
,
,
,
имеем
.
Разделив полученные выражения на , и устремив 
, получим систему дифференциальных уравнений вида
.
Пусть в начальный момент цепь Маркова находилась в состоянии , то есть 
, 
. Тогда решение системы дифференциальных уравнений принимает вид:
,
.