Тема. Метод Гаусса решения СЛУ

Практические занятия.

Тема. Метод Крамера решения СЛУ. Решение СЛУ методом обратной матрицы.

Тема. Метод Гаусса решения СЛУ.

Системы линейных уравнений.

…Система уравнений вида: называется системой линейных уравнений с неизвестными. В матричной форме система имеет вид: , где , , . Здесь -матрица системы, -матрица-столбец неизвестных, - матрица-столбец свободных членов. Если , где - нулевая матрица-столбец (все её элементы равны нулю), то система называется однородной, в противном случае неоднородной.

Если в системе и определитель матрицы системы (т.е. матрица имеет обратную ), то система имеет единственное решение, определяемое:

а) по формулам Крамера: , , где - определитель, получаемый из определителя системы заменой -ого столбца на столбец свободных членов;

б) методом обратной матрицы по формуле .

Решение произвольной системы уравнений находят методом Гаусса. Для этого составляют расширенную матрицу системы , приписывая к матрице системы справа столбец свободных членов . Затем расширенную матрицу с помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов приводят к специальному виду: . Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то исходная система уравнений несовместна; если , то система совместна. Совместная система имеет единственное решение, если , и бесконечное множество решений, если . Считая базисными неизвестными, -свободными, бесконечное множество решений записывают в виде общего решения, придавая свободным неизвестным произвольные значения: и выражая базисные неизвестные через свободные.

Однородная система уравнений всегда совместна, так как имеет тривиальное решение . Для существования нетривиального решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы (при это условие означает: ).