Умножение вектора на скаляр
Пусть заданы вектор и скаляр n. Найдем произведение вектора
и скалярного вектора n.
В результате умножения вектора на скаляр мы получаем новый вектор :
Направление вектора такое же, как направление вектора
при
.
Направление вектора противоположно направлению вектора
при
.
Модуль вектора в n раз больше модуля вектора
, если
.
Скалярное и векторное произведения
Скалярное произведение
Из двух векторов и
можно образовать скаляр по правилу:
Это выражение называется скалярным произведением векторов и
и обозначается одним из символов
, или
.
Следовательно, .
=
.
По определению скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1) ,
2) ,
3)
Векторное произведение
Из двух векторов и
можно образовать новый вектор:
, где
Модуль нового результирующего вектора находим по формуле:
.
Эта операция называется векторным произведением векторов и
и обозначается одним из символов
или
.
Также общеизвестна формула
,
где - угол между векторами
и
.
Направление вектора можно найти, используя следующий прием. Мысленно совмещаем продольную ось буравчика (правого винта, штопора) с перпендикуляром к плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы (в данном примере – векторы
и
). Затем начинаем вращать головку винта (ручку штопора) по направлению кратчайшего поворота от первого сомножителя ко второму, то есть от вектора
к вектору
. Направление движения тела винта и будет являться направлением вектора
. Этот прием называется правилом правого винта или правилом буравчика (см. рис.).
В терминах векторного произведения выражаются момент силы, момент импульса и др. Говоря о векторе, всегда имеем ввиду его компоненты. Вектор, в отличие от скаляра, определяется тремя числами. Поэтому такие операции как сложение, вычитание, скалярное и векторное произведения сводятся к привычным действиям с компонентами.
Производная и интеграл
Производная и ее применения
Пусть функция у=f(х) определена в точках х и х1 .Разность х1 - х называется приращением аргумента, а разность f(х1) - f(х) - приращением функциипри переходе от значения аргумента х к значению аргумента х1. Приращение аргумента обозначают , приращение функции обозначают
или
.
Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента
при условии, что
, то функция у=f(х) называется дифференцируемой в точке х, а этот предел называется значением производной функции у=f(х) в точке х и обозначается
или
.
Операцию отыскания производной называют дифференцированием.