Пример 4.Найти производную функции .

Подготовка к контрольной работе по теме «Производная и дифференциал».

Теоретический материал.

Производная
	(C–const)

Дифференцирование неявных функций.

Чтобы найти производную функции (или ), которая неявно задана соотношением F(x,y)=0, дифференцируем обе части равенства по независимой переменной x (или y), считая другую переменную функцией от неё, применяя формулу дифференцирования сложной функции. В результате получаем уравнение относительно искомой производной, разрешая его, получаем производную в неявной форме.

Прием логарифмического дифференцирования. .

1. .

2. .

3. .

Дифференцирование параметрических функций

,т.е. .

Уравнение касательной к кривой в точке : .

Уравнение(соответствующей)нормали: .

Производные и дифференциалы высших порядков.

. .

. .

Примеры.

Пример 1. .

Пример 2. Правило дифференцирования сложной функции: .

.

Пример 3.Найти производную неявно заданной функции .

Дифференцируем равенство, считая, что x - независимая переменная, а у функция от х:

. Раскроем скобки, оставим в правой части слагаемые, содержащие : . Выразим из этого уравнения искомую производную: или .

Пример 4.Найти производную функции .

Прологарифмируем функцию: .Дифференцируем обе части равенства по x: .Из этого уравнения находим: .

Пример 5.Найти производные 1-го и 2-го порядка циклоиды .

. Аналогично: .

Пример 6.Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке .

Находим: ,

- уравнение нормали.

Пример 7.Найти производную и дифференциал 3-го порядка функции .

Находим: .

№1 1. Найти производные функций: а) , б) , в) , г) , д) 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . 3. Найти дифференциал 2–го порядка , если . №2 1. Найти производные функций: а) , б) , в) , г) , д) 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . 3. Найти дифференциал 2–го порядка , если .

№3 1. Найти производные функций: а) , б) , в) , г) , д) 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . 3. Найти дифференциал 2–го порядка , если . №4 1. Найти производные функций: а) , б) , в) , г) , д) 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . 3. Найти дифференциал 2–го порядка , если .

№5 1. Найти производные функций: а) , б) , в) , г) , д) . 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . 3. Найти дифференциал 2–го порядка , если . №6 1. Найти производные функций: а) , б) , в) , г) , д) 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . 3. Найти дифференциал 2–го порядка , если .

№7 1. Найти производные функций: а) , б) , в) , г) , д) 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . 3. Найти дифференциал 2–го порядка , если . №8 1. Найти производные функций: а) , б) , в) , г) , д) 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . 3. Найти дифференциал 2–го порядка , если .

№9 1. Найти производные функций: а) , б) , в) , г) , д) 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . 3. Найти дифференциал 2–го порядка , если . №10 1. Найти производные функций: а) , б) , в) , г) , д) 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . 3. Найти дифференциал 2–го порядка , если .

№11 1. Найти производные функций: а) , б) , в) , г) , д) 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . 3. Найти дифференциал 2–го порядка , если . №12 1. Найти производные функций: а) , б) , в) , г) , д) 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . 3. Найти дифференциал 2–го порядка , если .

№13 1. Найти производные функций: а) , б) , в) , г) , д) . 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . 3. Найти дифференциал 2–го порядка , если . №14 1. Найти производные функций: а) , б) , в) , г) , д) 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . 3. Найти дифференциал 2–го порядка , если .

№15 1. Найти производные функций: а) , б) , в) , г) , д) 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . 3. Найти дифференциал 2–го порядка , если . №16 1. Найти производные функций: а) , б) , в) , г) , д) 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . 3. Найти дифференциал 2–го порядка , если. .

№17 1. Найти производные функций: а) , б) , в) , г) , д) 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . 3. Найти дифференциал 2–го порядка , если . №18 1. Найти производные функций: а) , б) , в) , г) , д) 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . 3. Найти дифференциал 2–го порядка , если .