Дифференцирование функции одной переменной. Исследование функций с помощью производной

Типовой расчёт № 5

Образец выполнения типового расчёта

Задание 1. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .

Решение:

Воспользуемся формулой: . Для данной функции получим: .

Ответ: .

Задание 2. Найти производные функций:

2.1.

Решение:

. 2.2. .

Решение:

Используем правило дифференцирования сложной функции: .

Заметим, что этот результат можно было получить, представив функцию в виде .

2.3. .

Решение:

Воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: . Получим .

2.4. .

Решение:

Снова используем формулу производной сложной функции: . Получим: .

Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию .

Решение:

Продифференцируем обе части данного уравнения по переменной , учитывая при этом, что является функцией аргумента . Получим:

. Из полученного равенства выразим производной : , откуда .

Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:

Решение:

Используем правило дифференцирования функции, заданной параметрически: . Получим: .

Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения .

Решение:

Используем приближённое равенство: , верное при малых значениях . Откуда: .

Преобразуем сначала исходное выражение: . Положим , , . Производная равна: , . Окончательно имеем: .

Задание 6. Найти вторую производную функции .

Решение:

Сначала находим первую производную: .

Вычисляем вторую производную:

Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .

Решение:

Запишем уравнение касательной: . В нашем случае , . Подставляем в уравнение: , откуда - уравнение касательной.

Запишем уравнение нормали: . Подставив в это уравнение числовые данные: , откуда - уравнение нормали.

Задание 8. Найти производную функции с помощью логарифмического дифференцирования.

Решение:

Запишем общую формулу логарифмической производной: . В нашем случае:

Задание 9. Исследовать функцию и построить ее график:

а)

Решение.

1. Находим область определения. .

2.Исследуем на четность. , следовательно функция общего вида.

3. Находим точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x =

с осью Оу: x = 0; y – не существует.

4. Исследуем на непрерывность. Функция определена и непрерывна при всех . х=0 – точка разрыва. .

5. Найдем асимптоты графика функции.

Так как в точке х=0 функция имеет бесконечный разрыв, то прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.

Наклонная асимптота у = х.

6. Находим интервалы монотонности функции и точки экстремума.

; y¢ = 0 при х = 2, у¢ = ¥ при х = 0.

Стационарная критическая точка: .

Составим таблицу:

х	(-		(0,2)	(2,+
	+		-	+
	возрастает	Не сущ.	убывает	возрастает

Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума.

Экстремум функции: .

7.Находим интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

Находим вторую производную.

> 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция вогнутая на всей области определения.

8. Построим график функции.

В)

Решение.

1. Находим область определения. .

2. Исследуем на четность. , следовательно функция общего вида.

3. Находим точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x = 1

с осью Оу: x = 0; y – не существует.

4. Исследуем на непрерывность. Функция определена и непрерывна в интервале (0;+¥). В граничной точке области определения функция имеет бесконечный разрыв, так как .

5. Так как в точке функция имеет бесконечный разрыв, то прямая является вертикальной асимптотой.

Найдем уравнение наклонной асимптоты .

Так как , то наклонных асимптот нет.

(При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя).

Итак, и уравнение горизонтальной асимптоты .

Таким образом, график имеет в качестве асимптот оси координат.

6. Находим интервалы монотонности функции и точки экстремума.

. y¢ = 0 при х =е. Стационарная критическая точка: .

Исследуем знак производной на интервалах(0;е) и (е;¥).

Составим таблицу:

Экстремум функции: .

7.Находим интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:

, при .

Определим знак второй производной в интервалах и

Составим таблицу:

y( )=3/( ) » 0,33

8. Построим график функции.

Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Решение:

Найдём область определения функции: . Далее, продифференцируем функцию: . Найдём критические точки: . Одна из них, , принадлежит рассматриваемому промежутку. Определим значение функции в границах отрезка и в этой точке:

. Таким образом, .