Законы сохранения в механике. Условия равновесия
| Рис. 2.8. |
| Земля |
В качестве примера частного доказательства закона сохранения и превращения энергии рассмотрим падение тела с высоты Н (рис. 2.8.). Это, кстати, не единственный путь доказательства. Систему тело–Земля будем считать замкнутой (изолированной); тело не взаимодействует ни с какими иными телами или действие этих тел скомпенсировано. В начальном состоянии 1 кинетическая энергия тела К1 равна нулю, а потенциальная энергия может быть записана: П1 = m×g×H. Действительно, чтобы тело оказалось в состоянии 1 необходимо совершить работу против силы тяжести, поднять тело с поверхности Земли на высоту Н. Поскольку перемещение направлено вверх, а сила тяжести вниз совершённая работа по подъёму тела на высоту Н запишется: DА = mg×H. Учитывая, что работа равна изменению энергии взятой с противоположным знаком: DА = П1 – ПЗем. Принимая потенциальную энергию на поверхности Земли за нуль, получили ранее приведённое выражение.
В процессе перехода из состояния 1 в состояние 2 сила тяжести совершит работу DА = mg×(H – h) = – (П2 – П1). Поскольку работа является количественной характеристикой превращения одних форм движения в другие, а в предложенной ситуации потенциальной энергии в кинетическую, то: – (П2 – П1) = К2. Отсюда П1 = П2 + К2, и тогда это равенство можно прочитать так «полная механическая энергия замкнутой системы тел остаётся постоянной при переходе системы из одного состояния в другое». Здесь уместно заметить, механическая энергия, определяемая состоянием тела (х, 
), является одним из многих видов энергии (электрическая, электромагнитная, ядерная…), естественно, закон сохранения энергии относится и к другим видам энергии.
Если в замкнутой системе действуют неконсервативные силы (трения, например), связанные с потерей энергии, работа неконсервативной силы запишется: Ан.к. = Е2 – Е1. Работа неконсервативных сил, отрицательная; действие такого рода сил приводит к превращению механической энергии в тепловую энергию.
| Рис. 2.9. |
; или уменьшение, если средство передвижения, например, приближается к препятствию. В разделе 2.1. было введено понятие импульса: 
. Совершённая работа может быть представлена выражением: DА = 
. Естественно возникает вопрос, что происходит с импульсом системы тел при взаимодействии, поскольку величина силы определяется быстротой (скоростью) изменения импульса тела: 
. Для простоты возьмём систему, состоящую из трёх тел (рис. 2.9.). Обозначим символами 
, 
, 
результирующие всех сил, с которыми внешние тела воздействуют соответственно на первое, второе и третье тела системы. В то же время, каждой из внутренних сил системы по третьему закону Ньютона соответствует противоположно направленная ей сила; например, силе 
, с которой на тело 2 воздействует тело 3, соответствует сила 
, с которой тело 2 воздействует на тело 3; = – (рис. 2.9.). Напишем для каждого из трёх тел второй закон Ньютона через изменение импульса :
Сложим все уравнения вместе. Сумма внутренних сил системы равна нулю, а скорость изменения её импульса: 
. Что это значит? При отсутствии воздействия внешних тел на систему, изменение импульса системы 
, что возможно, если импульс системы не изменяется. Это и составляет суть закона сохранения импульса: в замкнутой системе материальных тел импульс системы до взаимодействия равен импульсу системы после взаимодействия.
Из предыдущего следует, в потенциальном поле каждой точке с одной стороны соответствует некоторое значение силы 
, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии. Естественно ожидать, между силой и энергией существует определённая связь. Для установления её вычислим элементарную работу DА, совершаемую силами поля при малом перемещении тела Dх: DА = 
×Dх , где – величина силы на направление перемещения тела х; например, падение тела в поле силы тяжести. Поскольку работа совершается за счёт запаса потенциальной энергии, она равна убыли потенциальной энергии – DП, взятой с противоположным знаком на пути Dх: DА = – DП = – (П2 – П1). Сопоставляя уравнения работы, получаем: ×Dх = – DП, откуда следует 
; здесь 
– часто встречающееся в литературе обозначение изменения потенциальной энергии. Таким образом, среднее значение силы на отрезке Dх равно быстроте изменения потенциальной энергии, взятой с противоположным знаком.
Отсюда следует важный для нас вывод, который состоит в следующем. Поскольку в замкнутой системе полная энергия остаётся постоянной, то кинетическая энергия может возрастать только за счёт уменьшения потенциальной энергии. Если потенциальная энергия системы имеет минимальное значение, а скорости тел равны нулю, то без воздействия извне тела системы не могут прийти в движение; система находится в равновесии. Таким образом, замкнутая система находится в равновесном, устойчивом состоянии, если её потенциальная энергия соответствует минимальному значению. Из математики известно, для нахождения минимума функции необходимо взять первую производную: 
и приравнять её к нулю; работая в физике, функциональную зависимость нужно знать или установить её. Если это удалось сделать, можно выявить условие устойчивого равновесия системы.
Для справки. Законы сохранения энергии и импульса получены на основе законов Ньютона. Они являются результатом обобщения экспериментов с упругими, гравитационными и кулоновскими взаимодействиями. В то же время для микромира известны силы ядерного и слабого взаимодействия. Законы сохранения справедливы и для этих взаимодействий. Оказалось, что в основе законов сохранения лежит принцип симметрии пространства–времени. Так, из однородности пространства вытекает закон сохранения импульса, а из однородности времени – закон сохранения энергии; позднее мы узнаем, что из условия изотропности трёхмерного пространства следует закон сохранения момента импульса.
Завершая экскурс в раздел динамики «Законы сохранения в механике. Условия равновесия», перечислим его ключевые слова: закон сохранения энергии для замкнутых и незамкнутых систем, условие равновесия системы, закон сохранения импульса для замкнутых систем.