ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Числовые значения физических величин, с которыми приходится иметь дело при решении задач, в большинстве случаев являются приближенными причём степень приближения зависит как от точности приборов, которыми измерялась данная физическая величина, так и от тех требований, которые выдвигаются условиями задачи.
Так, например, ускорение силы тяжести обычно принимается равным Однако более точные измерения эт
ой величины могут дать значение
. При решении же некоторых задач в целях упрощения расчетов можно принять значение этой величины равным
.
Необходимо помнить, что точность конечного результата вычислений зависит только от точности измерений и ее невозможно повысить за счет точности вычислений, высчитывая много десятичных знаков после запятой. Рассмотрим это па примере следующей задачи.
За сколько времени падающее тело достигнет скорости ?
В соответствии с законами свободного падения , a
Производя деление, можно получить, например, число
. секунд. Можно производить деление и дальше, но смысла это иметь не будет. Вполне достаточно остановиться на числе
имеющем столько же значащих цифр, сколько их имеет исходное данное —
Излишнее количество знаков при вычислениях не только не приносит пользы, но является грубой ошибкой, так как говорит о том, что вычислитель не имеет представления о точности своих измерений и вычислений и бесполезно затрачивает свой труд и время.
Чтобы избежать вычисления ненужных знаков, необходимо соблюдать правила действия над приближенными числами:
1.Следует правильно записывать приближенные числа. Так, например, числа
отнюдь не одно и тоже число. В первой записи указано, что верны лишь цифры целых и десятых долей. Во втором числе верны сотые доли, а в третьем — также и тысячные, и, следовательно, измерения, в которых получено это число, оказались наиболее точными из всех трех измерений.
2. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате надо отбрасывать по правилам округления цифры тех разрядов справа, которых нет хотя бы в одном из слагаемых. Так, например:
Десятые доли отброшены, так как десятичные знаки первого слагаемого неизвестны.
3.При умножении и делении приближенных чисел в результате необходимо оставлять столько значащих цифр, сколько их имеется в числе с наименьшим количеством значащих цифр. Прочие цифры заменяются нулями или отбрасываются по правилам округления. Например:
4. При возведении в степень или извлечении корня в результате надо оставлять столько значащих цифр, сколько их в исходном числе, с которым производится действие. Например:
5. При вычислении сложных выражений следует применять указанные правила в соответствии с видом производимых действий. Например,
Числа и
имеют наименьшее количество значащих цифр, а именно две. Поэтому результаты всех промежуточных вычислений должны округляться до трех знаков, оставляя, кроме двух достоверных, один сомнительный знак. Тогда предыдущее выражение можно будет записать так:
Произведя эти вычисления, округляем ответ до двух значащих цифр, т. е. до .
6. Табличные величины (число ,
заряд электрона и т. п.) следует брать с таким количеством значащих цифр, которое равно количеству значащих цифр в наименее точном из данных по условиям задачи.
7. В ряде случаев результаты измерений или табличные
данные выражаются числами, близкими к единице, но заведомо не равными единице. При точных вычислениях такие числа округлять нельзя. Так, например, магнитная проницаемость платины равна, показатель преломления воздуха равен
, и т. п. Вычисления с ними довольно громоздки. Поэтому при работе с такими числами следует пользоваться специальными правилами.
Пусть число может быть выражено в виде, где
малое число. Тогда
Рассмотрим применение этих правил на примерах:
Этими правилами следует широко пользоваться в приближенных вычислениях и при решении задач. Пpи вычислениях в ряде случаев удобно пользоваться таблицами 3 и 4, помещенными в конце указаний.