Продолжение). Основные правила дифференцирования
VII Логарифмическая производная
Пусть функция 
положительна и дифференцируема. Тогда и функция 
– дифференцируема, причем
.
Это выражение и называется логарифмической производной функции 
. Отсюда легко получить производную самой функции :
.
Используя эту формулу можно получить правило дифференцирования сложной степенно-показательной функции:
.
Окончательно имеем формулу:
.
Замечание 2. Вообще говоря, всегда лучше помнить не лишнюю формулу, а приём, который приводит к этой формуле. Для степенно-показательной функции можно предложить прием, использующий основное логарифмическое тождество:
.
Примеры.
2. 
VIII Дифференцирование обратной функции
Пусть функция в некоторой окрестности точки 
– непрерывная и строго монотонная, а кроме того, дифференцируема в точке , причем 
. Тогда в некоторой окрестности точки 
существует обратная функция 
, также непрерывная, строго монотонная и дифференцируемая в точке 
, причем
. (1)
Строгое доказательство приводить не будем, но дадим геометрическую иллюстрацию. При этом используем тот факт, что у графики взаимно-обратных функций и совпадают, а производная – это угловой коэффициент касательной.
 |
,
Формулу (1) записывают еще в виде 
или 
.
Применим последнюю формулу для вычисления производной, например, арксинуса:
,
IX Дифференцирование функции, заданной параметрически
Пусть имеется система параметрических уравнений 
, 
, причем функции 
и 
дифференцируемы и 
сохраняет знак. Тогда на области значений функции существует дифференцируемая функция 
, причем
Действительно, из условия 
(или 
) следует монотонность функции 
; следовательно, у неё существует обратная 
. Тогда 
– некоторая функция от x. Её производную можно найти, если применить правила дифференцирования сложной и обратной функций:
Пример.3. Составим уравнение касательной к эллипсу 
в точке 
, соответствующей значению параметра 
.
Координаты точки касания: 
, 
. Угло-
вой коэффициент касательной
.
Искомое уравнение имеет вид: 
.
Замечание 3. Вообще говоря, производная функции, заданной параметрически, есть функция, заданная параметрически. Методически более правильным было бы писать такую производную в виде системы параметрических уравнений:
X Дифференцирование функции, заданной неявно
При некоторых условиях, которые будут сформулированы в теме “Функции нескольких переменных”, уравнение с двумя переменными вида 
определяет y как функцию от x: 
. Другими словами, существует функция 
, обращающая уравнение в тождество. Производную этой функции можно найти (в неявном же виде), не находя самой функции. Точные формулы будут даны позже, а сейчас сформулируем правило:
тождество 
дифференцируем по x, не забывая, что y – это функция от x; затем из полученного равенства находим 
.
Примеры. 4. Дано: 
. Дифференцируем по x обе части:
. 
.
5. Выведем уравнение касательной к эллипсу 
, проходящей через его точку 
. Найдем угловой коэффициент касательной. Для этого уравнение эллипса дифференцируем по x, не забывая, что :
.
В общее уравнение касательной подставим найденный коэффициент и преобразуем уравнение:
.
Так как точка принадлежит эллипсу, то правая часть полученного уравнения равна 1. Следовательно, искомая касательная имеет уравнение
.
Дифференциал функции
I Определение и геометрический смысл
Известно, что приращение дифференцируемой в точке функции можно записать в виде суммы
двух слагаемых, каждое из которых стремится к нулю при 
. Однако, второе слагаемое имеет порядок малости более высокий, чем первое (“быстрее” стремится к нулю). То есть в этой сумме главную роль играет первое слагаемое.
Определение. Главная часть приращения 
функции , линейная относительно приращения 
аргумента x, называется дифференциалом функ-ции и обозначается символом dy.
Итак, 
.
Геометрический смысл виден из рисунка: дифференциал функции – это приращение ординаты касательной к графику функции, соответствующее приращению аргумента .
Дифференциалом независимой переменной x, принято называть ее приращение и обозначать dx: 
. Тогда формула для дифференциала функции приобретает симметричный вид
или 
.
II Инвариантность формы первого дифференциала
Правило дифференцирования сложной функции приводит к одному очень важному свойству дифференциала. Вычислим dy для функции 
в двух случаях:
1) x – независимая переменная, тогда 
;
2) x – некоторая функция 
, тогда
Сравнивая результаты, получаем т.н. свойство инвариантности формы первого дифференциала:
форма 1го дифференциала функции не зависит от того, является
ли переменная x независимой или функцией другой переменной.
III Таблица дифференциалов
Так как дифференциал dy лишь множителем dx отличается от производной , то по таблице производных легко составить таблицу дифференциалов.
1. 
, 
, 
.
2. 
, 
.
3. 
, 
.
4. 
. 5. 
.
6. 
. 7. 
.
8. 
. 9. 
.
10. 
. 11. 
.
Также легко получить формулы для дифференциалов суммы, разности, произведения и частного функций:
а) 
б) 
в) 
Отметим, что в таблице дифференциалов переменная x может быть как независимой, так и некоторой функцией. В таблице же производных (§6) x – это только независимая переменная.
Замечание. Формула для дифференциала функции , а именно:
,
позволяет написать формулу, выражающую производную функции через дифференциалы dx и dy:
.
При этом такая формула сохраняет силу, по какой бы независимой переменной ни были вычислены dx и dy. Эта формула позволяет легко запоминать (но не доказывать!) некоторые правила дифференцирования:
для сложной функции 
;
для обратной функции
;
для функции, заданной параметрически 
.