ВИЗНАЧЕННЯ ПОХІДНОЇ. ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ
1.1. Похідною функції 
називається границя відношення приросту цієї функції до відповідного приросту аргументу 
, коли приріст аргументу прямує до нуля:
.
Якщо ця границя кінцева, то похідна існує, й функція 
називається диференційованою в точці 
. Похідна позначається також 
або 
. Операція відшукання похідної називається диференціюванням функції.
1.2. Правила диференціювання функцій. Нехай 
– стала, 
, 
– функції, що мають похідні.
1.  ;
| ||
2.  ;
|  ;
| |
3.  ;
|  ;
|  .
|
4.  ;
|  ;
|  .
|
5. Правило диференціювання складної функції. Якщо функція 
диференційована по 
, а функція 
– по , то складна функція 
має похідну 
чи 
.
1.3. Таблиця похідних функцій:
| Похідні основних елементарних функцій | Похідні складних елементарних
функцій, 
|
1.  .
| 1а.  .
|
2.  .
| 2а.  .
|
3.  .
| 3а. 
|
4.  .
| 4а.  .
|
5.  .
| 5а.  .
|
6.  .
| 6а.  .
|
7.  .
| 7а.  .
|
8.  .
| 8а.  .
|
9.  .
| 9а.  .
|
10.  .
| 10а.  .
|
11.  .
| 11а.  .
|
12.  .
| 12а.  .
|
13.  .
| 13а.  .
|
14.  .
| 14а.  .
|
15.  .
| 15а.  .
|
16.  .
| 16а.  .
|
17.  .
| 17а.  .
|
1.4. Похідні вищих порядків. Похідною другого порядку (другою похідною) від функції 
називається похідна від її похідної, тобто
.
Другу похідну також позначають 
або 
. Похідна від похідної другого порядку називається похідною третього порядку і так далі. Похідну 
-го порядку позначають 
або 
.
1.5. Приклади. Використовуючи правила диференціювання й таблицю похідних, знайдемо похідні наступних функцій:
1)  ;
| 2)  ;
| 3)  ;
|
4)  ;
| 5)  ;
| 6)  ;
|
7)  .
|
Розв’язання
1) Перепишемо задану функцію, надавши доданки у вигляді степеня: 
. Тоді застосувавши формулу 2 п. 1.2 правил диференціювання, а також формулу 1а п. 1.3:
.
2) Записуємо задану функцію у вигляді степеня: 
та обчислюємо похідну, застосувавши формулу 1а п. 1.3:
.
3) Застосувавши формулу 3 п. 1.2 правил диференціювання, а також формулу 1 та формулу 14 п 1.3, знаходимо:
.
4) Диференціюючи функцію 
як складну, знаходимо похідну:
5) Відповідно до формули 4 п. 1.2 одержуємо:
.
6) За аналогією із прикладом 3 знаходимо:
7) Так як дана функція – показникова, то відповідно до формули 5а п.1.3:
1.6. Степенево-показникова функція. Виведемо формулу для похідної степенево-показникової функції 
, враховуючи, що та 
диференційовані функції та 
.
Логарифмуючи рівність 
і диференціюючи обидві частини отриманої рівності 
, знаходимо: 
. Отже, 
. Таким чином, одержуємо 
.
Наприклад, знайти похідну функції 
, де 
.
Прологарифмуємо задану функцію: 
. Використовуючи основні властивості логарифмів ( 
, 
, 
), отримаємо: 
.
Продиференціюємо отриману неявну функцію: 
. Відповідно до формули 9а п.1.3 (для лівої частини) та до формули 3 п.1.2 (для правої частини), отримуємо: 
; 
; 
. Далі: 
. Підставивши задану спочатку функцію в останній вираз, отримаємо: 
.
Завдання 1. Знайти перші похідні функцій. У завданнях а) і б) додатково знайти другі похідні.