Предположим, что имеет место линейная зависимость т. е.
. (1)
Найдем оценки коэффициентов a и b по фактическим данным об уровнях ряда (ti; yi) (i=1,…,n) так, чтобы сумма квадратов отклонений теоретической кривой от реальных данных была минимальной
(2)
или
. (2а)
Возьмем частные производные Q по параметрам a и b и приравняем их нулю
, (3)
.
Первое уравнение системы (3) можно преобразовать к виду
или
.
Второе уравнение можно преобразовать к виду
.
Таким образом, мы имеем систему уравнений
, 
. (4)
Ее решение позволяет найти оценки параметров a и b.
Для упрощения расчетов (при нечетном количестве точек ряда – 2к+1) будем считать, что ряд образуется для моментов времени –к, -к+1, … 0, 1, 2, ….. к .
Тогда
и система уравнений имеет решение
,
. (5)
Полученная модель используется для прогноза экономического показателя на момент времени tL
(6)
Пример. Опишем динамику добычи угля в Англии за ряд лет (табл.) линейной зависимостью.
Таблица
| ti | yi | ti2 | yiti | ei |
| -6,3 | ||||
| -2,7 | ||||
| 2,9 | ||||
| 10,5 | ||||
| 10,0 | ||||
| -1,4 | ||||
| -4,8 | ||||
| -7,2 | ||||
| -5,6 | ||||
| 4,0 | ||||
| 1,6 | ||||
| 5,2 | ||||
| -25,2 | ||||
| 19,4 | ||||
| Итого 105 |
Система уравнений (4) имеет вид
,
откуда 
=225,1 ; 
= - 4,41, т. е. линейная модель имеет вид
.
При прогнозировании на 5 лет (tL=19) прогноз добычи угля по модели составит
.
Задание 3
Выберите из таблицы временной ряд в соответствии с номером Вашего варианта (по последней цифре шифра зачетной книжки)
| Номер | Временной ряд | ||||
| варианта | |||||
| 26,7 | 110,1 | 276,8 | 683,9 | 1005,2 | |
| 85,4 | 87,2 | 93,4 | 97,1 | 97,2 | |
| 212,3 | 216,2 | 219,8 | 223,2 | 226,4 | |
| 145,0 | 152,9 | 164,6 | 168,8 | 181,3 | |
| 59,1 | 56,1 | 58,9 | 58,4 | 57,5 | |
| 78,5 | 81,1 | 87,3 | 91,7 | 96,4 | |
| 292,3 | 327,6 | 369,3 | 412,4 | 458,9 |
1. Рассчитать показатели динамики – абсолютный прирост, коэффициент роста, коэффициент прироста (цепные и базисные).
2. Найти средний абсолютный прирост и средний коэффициент роста.
3. Подобрать линейную зависимость вида 
. Найти оценки коэффициентов 
и 
по методу наименьших квадратов.
4. Сделать прогноз показателя по математической модели тренда на 3 года вперед.
ОШИБКИ ОЦЕНКИ ХАРАКТЕРИСТИК ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ ПО ВЫБОРКЕ
Часто по выборке определяется среднее значение какого-либо признака − 
(выборочное среднее) или выборочная доля элементов, обладающих каким-либо качественным признаком (w).
Разница между этими показателями в выборке и генеральной совокупности называется ошибкой оценки характеристик генеральной совокупности по выборке.
Выборочное среднее и выборочная доля являются случайными величинами, которые могут принимать различные значения в зависимости от того, какие элементы совокупности попали в выборку.
Следовательно, ошибки оценки этих характеристик генеральной совокупности по выборке также являются случайными величинами.