Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов.

В электронной теории проводимости предполагается:

1) В металлах имеются свободные электроны, которые в отсутствие внешнего

электрического поля движутся хаотически, а при

наличии поля приобретают характер упорядоченного

движения (см.рис.).

2) Движение каждого электрона подчиняется законам

классической механики.

3) Все вместе электроны образуют электронный газ и подчиняются законам

молекулярной физики.

4) Взаимодействие электронов с ионами решетки рассматривается как простое

столкновение, взаимодействием электронов между собой пренебрегается.

5) Напряженность поля внутри металла считается постоянной.

6) Все электроны под действием внешнего электрического поля приобретают

одинаковые скорости vср.

 

При выводе закона Ома будем считать, что электрон, сталкиваясь с ионом, полностью отдает ему свою энергию, а затем снова набирает скорость под действием сил поля (см. рис.- фрагмент кристаллической решетки). Электрон в кристалле участвует одновременно в двух движениях: хаотическом тепловом со скоростью u @ 105 м/с и направленном под действием поля со скоростью vср порядка 0,001 м/с, т.е. u >> vср

II закон Ньютона для электрона
из кинематики, t – время движения электрона между двумя столкновениями
средняя скорость электрона за время между двумя столкновениями
l - средняя длина свободного пробега электрона– это расстояние, которое проходит электрон между двумя последовательными столкновениями с ионами (u>> vср)
(··) плотность тока в проводнике; подставив в эту формулу вышеприведенные, получим:
мы получили закон Ома в дифференциальной форме, запишем его в векторном виде:
       

 

закон Ома в дифференциальной форме. В такой форме закон применим для бесконечно малого объема проводника, фактически – для точки проводника.
(···) s - удельная электропроводность проводника; r - удельное сопротивление проводника

 

Тема 8. Вопрос 3.

Часть 2.

Электронная теория проводимости металлов, несмотря на множество упрощающих предположений, позволяет теоретически вывести закон Ома и закон Джоуля – Ленца (см. ниже). Это свидетельствует о том, что модель поведения электронов в металле соответствует действительности. Вместе с тем эта теория столкнулась с рядом трудностей. Рассмотрим некоторые из них.

1)Теплоемкость металла теоретически должно складываться из теплоемкости кристаллической решетки и теплоемкости электронов: СМе = Среш +Сэлнов=

6R/2 + 3R/2 (для моля). Но из опыта следует, что теплоемкость почти всех твердых тел равна 3R. Таким образом, получается, что электроны не участвуют в теплоемкости, т.е. не «принимают» тепло при нагревании вещества. В дальнейшем с развитием квантовой механики выяснилось, что электроны в металле могут иметь не любые энергии, а только те, значения которых лежат в разрешенных зонах (см. III часть курса).

2)В формуле e,m известны, n, u – можно вычислить, а s = 1/r измерить опытным путем. Таким образом можно оценить длину свободного пробега электрона l. Она оказалась равной порядка 10-5 см, тогда как расстояние между ионами примерно 10-8 см. Получается, что электрон пролетает мимо сотен ионов, не сталкиваясь с ними. Это затруднение также объяснила квантовая механика: движение электрона в металле – это распространение некоторой волны, искажение этой волны происходит на примесях (чужеродных атомах), а их металле значительно меньше, чем атомов решетки.

3)Затруднение возникло также с зависимостью сопротивления от температуры. Из следует, что удельное сопротивление r =1/s ~ , т.к. скорость теплового движения u ~ , а остальные величины практически не зависят от температуры. Но из опыта следовало, что r ~ Т. Квантовая механика разрешила и это затруднение.

 

Тема 8. Вопрос 4.

 

Закон Джоуля – Ленца: «Если по проводнику протекает ток, в проводнике выделяется теплота Q». Найдем выражение для Q. Сначала получим закон в дифференциальной форме на основе электронной теории. Введем новое понятие:

(Дж/м3×с) удельная мощность – это энергия, выделяющаяся в единице объема проводника за единицу времени

 

энергия, передаваемая одним электроном иону решетки за одно столкновение, т.е. за время t - время между двумя столкновениями.
энергия, передаваемая электронами, находящимися в единице объема проводника за одно столкновение (за время t), n- концентрация электронов
энергия, выделяющаяся в единице объема за единицу времени (формулы - см. закон Ома)
     

 

закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме

Чтобы найти количество теплоты, выделяющейся во всем проводнике за некоторое время нужно проинтегрировать и использовать закон Ома:

 

закон Джоуля - Ленца в интегральной форме при постоянной силе тока, R – общее сопротивление участка цепи
для случая, когда сила тока зависит от времени

 

Тема 8. Вопрос 5.