Уравнение состояния идеального газа

 

Состояние газа данной массы характеризуется тремя макроскопическими параметрами: давлением p, объемом V и температурой T. Сейчас мы найдем между ними связь, а затем посмотрим, для чего эта связь нужна.
Уравнение состояния. Мы детально рассмотрели поведение идеального газа с точки зрения молекулярно-кинетической теории. Была определена зависимость давления газа от концентрации его молекул и температуры (см. формулу 9.10). На основе этой зависимости можно получить уравнение, связывающее все три макроскопических параметра p, V и T, характеризующие состояние достаточно разреженного газа данной массы. Это уравнение называют уравнением состояния идеального газа.
Подставим в уравнение p=nkT выражение для концентрации молекул газа. Учитывая формулу (8.8), концентрацию газа можно записать так:

где NA - постоянная Авогадро; m - масса газа; M - его молярная масса.
После подстановки формулы (10.1) в выражение (9.10) будем иметь

Произведение постоянной Больцмана k и постоянной Авогадро NA называют универсальной (молярной) газовой постоянной и обозначают буквой R:

Подставляя в уравнение (10.2) вместо kNA универсальную газовую постоянную R, получим уравнение состояния для идеального газа произвольной массы:

Единственная величина в этом уравнении, зависящая от рода газа, - это его молярная масса.
Из уравнения состояния вытекает связь между давлением, объемом и температурой идеального газа, который может находиться в двух любых состояниях.
Если индексом 1 обозначить параметры, относящиеся к первому состоянию, а индексом 2 - параметры, относящиеся ко второму состоянию, то согласно уравнению (10.4) для газа данной массы

Правые части этих уравнений одинаковы, следовательно, должны быть равны и их левые части:

Уравнение состояния в форме (10.5) называется уравнением Клапейрона и представляет собой одну из форм записи уравнения состояния.
Уравнение состояния в форме (10.4) было впервые получено великим русским ученым Д. И. Менделеевым. Его называют уравнением Менделеева - Клапейрона.
Для чего нужно уравнение состояния? Не только идеальный газ, но и любая реальная система - газ, жидкость, твердое тело - характеризуется своим уравнением состояния. Но только эти уравнения намного сложнее, чем уравнение Менделеева - Клапейрона для идеального (достаточно разреженного) газа.
Знать уравнение состояния необходимо при исследовании тепловых явлений. Оно позволяет полностью или частично ответить сразу на три группы различных вопросов.
1. Уравнение состояния позволяет определить одну из величин, характеризующих состояние, например температуру, если известны две другие величины. Это и используют в термометрах.
2. Зная уравнение состояния, можно сказать, как протекают в системе различные процессы при определенных внешних условиях: например, как будет меняться давление газа, если увеличивать его объем при неизменной температуре, и т. д. Этому посвящен следующий параграф.
3. Наконец, зная уравнение состояния, можно определить, как меняется состояние системы, если она совершает работу или получает теплоту от окружающих тел. Об этом пойдет речь в конце раздела «Молекулярная физика. Тепловые явления».
Уравнение состояния не надо выводить каждый раз, его надо запомнить. Неплохо было бы помнить и значение универсальной газовой постоянной: R=8,31Дж/(моль•К).

Число степеней свободы молекулы. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул

 
 
Одной из основных характеристик термодинамической системы является ее внутренняя энергия U — энергия хаотического (теплового) движения микрочастиц системы (атомов, молекул, ядер, электронов и т. д.) и энергия взаимодействия этих частиц. Из этого определения следует, что к внутренней энергии не относятся кинетическая энергия движения системы как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях. Внутренняя энергия — определенная функция термодинамического состояния системы, т. е. в любом состоянии система обладает вполне определенной внутренней энергией (она не зависит от того, каким образом система пришла в данное состояние). Это значит, что при переходе системы из одного состояния в другое изменение внутренней энергии задается только разностью значений внутренней энергии данных состояний и не зависит от пути и способа перехода. В механике введилось понятие числа степеней свободы: это число независимых переменных (координат), которые полностью определяют положение системы в пространстве. В некоторых задачах молекулу одноатомного газа (рис. 1, а) рассматривают как материальную точку, которой задают три степени свободы поступательного движения. При этом не учитывается энергия вращательного движения. В механике молекула двухатомного газа в первом приближении считается совокупностью двух материальных точек, которые жестко связанны недеформируемой связью (рис. 1, б). Данная система кроме трех степеней свободы поступательного движения имеет еще две степени свободы вращательного движения. Вращение вокруг третьей оси, проходящей через оба атома, лишено смысла. Значит, у двухатомного газа пять степеней свободы (i = 5). У трехатомной (рис. 1, в) и многоатомной нелинейной молекулы шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных. Естественно считать, что жесткой связи между атомами не существует. Поэтому необходимо учитывать для реальных молекул также степени свободы колебательного движения.   Рис.1 При любом числе степеней свободы данной молекулы три степени свободы всегда поступательные. Ни одна из поступательных степеней свободы не имеет преимущества перед другими, значит на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия, равная 1/3 значения <ε0> (энергия поступательного движения молекул): В статистической физике выводится закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул: для статистической системы, которая находится в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная kT/2, а на каждую колебательную степень свободы — в среднем энергия, равная kT. Колебательная степень обладает вдвое большей энергией, т.к. на нее приходится как кинетическая энергия (как в случае поступательного и вращательного движений), так и потенциальная, причем средние значения потенциальной и кинетической и энергии одинаковы. Значит, средняя энергия молекулы где i — сумма числа поступательных, числа вращательных в удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы: i=iпост+iвращ+2iколеб В классической теории рассматривают молекулы с жесткой связью между атомами; для них i совпадает с числом степеней свободы молекулы. Так как в идеальном газе взаимная потенциальная энергия взаимодействия молекул равна нулю (молекулы между собой не взаимодействуют), то внутренняя энергия для одного моля газа, будет равна сумме кинетических энергий NA молекул: (1) Внутренняя энергия для произвольной массы m газа. где М — молярная масса, ν — количество вещества.

 

 

Распределение Максвелла

 
 
При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории полагалось, что молекулы имеют различные скорости. После многократных соударений скорость каждой молекулы изменяется по модулю и направлению. Но из-за хаотического движения молекул все направления движения равновероятны, т. е. в любом направлении в среднем движется равное число молекул. Согласно молекулярно-кинетической теории, как бы ни изменялись при столкновениях скорости молекул, средняя квадратичная скорость молекул массой m0 в газе, который находится в состоянии равновесия при Т= const, остается неизменно и равной Это объясняется тем, что в газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем статистическое распределение молекул по скоростям, подчиняющаяся вполне определенному статистическому закону. Этот закон теоретически выведен Дж. Максвеллом. При выводе закона распределения молекул по скоростям Максвелл сделал предположение, что газ состоит из огромного числа N тождественных молекул, которые находятся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Также предполагалось, что силовые поля на газ не действуют. Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(ν), которая называется функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, которые равны dν, то на каждый интервал скорости приходится число молекул dN(ν), имеющих скорость, которая заключена в этом интервале. Функция f(ν) задает относительное число молекул dN(ν)/N, скорости которых находятся в интервале от ν до ν+dν, т. е. откуда Применяя методы теории вероятностей, Максвелл получил функцию f(ν) — закон о распределеня молекул идеального газа по скоростям: (1) Из (1) видно, что конкретный вид функции зависит от вида газа (от массы молекулы) и от параметра состояния (от температуры Т). График функции (1) приведен на рис. 1. Так как при возрастании ν множитель exp[–m0ν2/(2kT)] уменьшается быстрее, чем увеличивается множитель ν2, то функция f(ν), начинаясь от нуля, достигает максимума при νB, и затем асимптотически стремится к нулю. Кривая несимметрична относительно νB.   Рис.1 Относительное число молекул dN(ν)/N, со скоростями, лежащими в интервале от ν до ν+dν, рассчитывается как площадь заштрихованной полоски на рис. 1. Площадь, которая ограничена кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Это значит, что функция f(ν) удовлетворяет условию нормировки Скорость, при которой максимальна функция распределения молекул идеального газа по скоростям, называется наиболее вероятной скоростью, значение которой можно найти продифференцировав выражение (1) (постоянные множители опускаем) по аргументу ν, при этом приравняв результат нулю и используя условие для максимума выражения f(ν): Значения ν=0 и ν=∞ соответствуют минимумам выражения (1), а значение ν, при котором выражение в скобках становится равным нулю, и есть искомая наиболее вероятная скорость νB: (2) Из формулы (2) мы видим, что при возрастании температуры максимум функции распределения молекул по скоростям (рис. 2) движется вправо (при этом становится больше значение наиболее вероятной скорости). Однако площадь, которая ограничена кривой, не меняется, поэтому кривая распределения молекул по скоростям при повышении температуры будет растягиваться и понижаться.   Рис.2 Средняя скорость молекулы <ν> (средняя арифметическая скорость) определяется по формуле Подставляя сюда f(ν) и интегрируя, получаем (3) Скорости, которые характеризуют состояние газа: 1) наиболее вероятная 2) средняя 3) средняя квадратичная (рис. 1). Исходя из распределения молекул по скоростям (4) найдем распределение молекул газа по значениям кинетической энергии ε. С этой целью перейдем от переменной ν к переменной ε=m0v2/2. Подставив в (4) и , получим где dN(ε) — число молекул, которые имели кинетическую энергию поступательного движения, заключенную в интервале от ε до ε + dε. Значит, функция распределения молекул по энергиям теплового движения Средняя кинетическая энергия <ε> молекулы идеального газа т. е. получили результат, совпадающий с формулой о средней кинетической энергии движения одной молекулы идеального газа, выводимой из молекулярно-кинетической теории.

 

 

Карно цикл

Карно цикл

обратимый круговой процесс, в котором совершается превращение теплоты в работу (или работы в теплоту). К. ц. состоит из последовательно чередующихся двух изотермических и двух адиабатных процессов. Впервые рассмотрен французским учёным Н. Л. С. Карно (1824) как идеальный рабочий цикл теплового двигателя. Превращение теплоты в работу сопровождается переносом рабочим телом двигателя определённого количества теплоты от более нагретого тела (нагревателя) к менее нагретому (холодильнику).

К. ц. осуществляется следующим образом: рабочее тело (например, пар в цилиндре под поршнем) при температуре T1 приводится в соприкосновение с нагревателем, имеющим постоянную температуру T1, и изотермически получает от него количество теплоты δQ1 (при этом пар расширяется и совершает работу). На рис. 1 этот процесс изображен отрезком изотермы AB. Затем рабочее тело, расширяясь адиабатически (по адиабате BC), охлаждается до температуры T2. При этой температуре, сжимаясь изотермически (отрезок CD), рабочее тело отдаёт количество теплоты δQ2 холодильнику с температурой T2. Завершается К. ц. адиабатным процессом (DA на рис. 1), возвращающим рабочее тело в исходное термодинамическое состояние. При постоянной разности температур (T1 — T2) между нагревателем и холодильником рабочее тело совершает за один К. ц. работу

Эта работа численно равна площади ABCD (рис. 1), ограниченной отрезками изотерм и адиабат, образующих К. ц.

К. ц. обратим, и его можно осуществить в обратной последовательности (в направлении ADCBA). При этом количество теплоты δQ2 отбирается у холодильника и вместе с затраченной работой δА (превращенной в теплоту) передаётся нагревателю. Тепловой двигатель работает в этом режиме как идеальная холодильная машина.

К. ц. имеет наивысший кпд η = δA/δQ1 = (T1 — T2)/T1 среди всех возможных циклов, осуществляемых в одном и том же температурном интервале (T1 — T2). В этом смысле кпд К. ц. служит мерой эффективности др. рабочих циклов.

Исторически К. ц. сыграл важную роль в развитии термодинамики и теплотехники. С его помощью была доказана эквивалентность формулировок Р. Клаузиуса и У. Томсона (Кельвина) второго начала термодинамики (См. Второе начало термодинамики), К. ц. был использован для определения абсолютной термодинамической шкалы температур (см. Температурные шкалы), К. ц. часто использовался также для вывода различных термодинамических соотношений (например, Клапейрона — Клаузиуса уравнения (См. Клапейрона - Клаузиуса уравнение)).

Лит.: Ферми Э., Термодинамика, пер. с англ., Хар.. 1969; Путилов К. А., Термодинамика, М., 1971.

Рис. 1. Цикл Карно на диаграмме р — V (давление — объём). δQ1 — количество теплоты, получаемой рабочим телом от нагревателя, δQ2 — количество теплоты, отдаваемой им холодильнику. Площадь ABCD численно равна работе цикла Карно.

Рис. 2. Схема работы идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно: 1. От нагревателя Н поступает теплота δQ1, газ под поршнем изотермически расширяется (по линии AB, рис. 1). 2. Газ изолирован от нагревателя и холодильника и адиабатически расширяется (по линии BC). 3. Газ изотермически (при Т = Т2) сжимается (по линии CD) и отдаёт теплоту δQ2 холодильнику X. 4. Газ изолирован и адиабатически сжимается (по линии DA).

 

 

Зако́н Куло́на — это закон, описывающий силы взаимодействия между точечными электрическими зарядами.

Был открыт Шарлем Кулоном в 1785 г. Проведя большое количество опытов с металлическими шариками, Шарль Кулон дал такую формулировку закона:

Модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме прямо пропорционален произведению модулей этих зарядов и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними

Иначе: Два точечных заряда в вакууме действуют друг на друга с силами, которые пропорциональны произведению модулей этих зарядов, обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними и направлены вдоль прямой, соединяющей эти заряды. Эти силы называются электростатическими (кулоновскими).

Важно отметить, что для того, чтобы закон был верен, необходимы:

  1. точечность зарядов — то есть расстояние между заряженными телами много больше их размеров — впрочем, можно доказать, что сила взаимодействия двух объёмно распределённых зарядов со сферически симметричными непересекающимися пространственными распределениями равна силе взаимодействия двух эквивалентных точечных зарядов, размещённых в центрах сферической симметрии;
  2. их неподвижность. Иначе вступают в силу дополнительные эффекты: магнитное поле движущегося заряда и соответствующая ему дополнительная сила Лоренца, действующая на другой движущийся заряд;
  3. взаимодействие в вакууме.

Однако с некоторыми корректировками закон справедлив также для взаимодействий зарядов в среде и для движущихся зарядов.[1]

В векторном виде в формулировке Ш. Кулона закон записывается следующим образом:

где — сила, с которой заряд 1 действует на заряд 2; — величина зарядов; — радиус-вектор (вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, и равный, по модулю, расстоянию между зарядами — ); — коэффициент пропорциональности. Таким образом, закон указывает, что одноимённые заряды отталкиваются (а разноимённые — притягиваются).

Коэффициент k

В СГСЭ единица измерения заряда выбрана таким образом, что коэффициент k равен единице.

В Международной системе единиц (СИ) одной из основных единиц является единица силы электрического тока ампер, а единица заряда — кулон — производная от него. Величина ампера определена таким образом, что k = c2·10-7 Гн/м = 8,9875517873681764·109 Н·м2/Кл2 (или Ф−1·м). В СИ коэффициент k записывается в виде:

где ≈ 8,854187817·10−12 Ф/м — электрическая постоянная.

В однородном изотропном веществе в знаменатель формулы добавляется относительная диэлектрическая проницаемость среды ε.

В СГСЭ

В СИ

 

Электрическое поле

Рассмотренный ранее закон Кулона устанавливает количественные и качественные особенности взаимодействия точечных электрических зарядов в вакууме. Однако этот закон не дает ответа на весьма важный вопрос о механизме взаимодействия зарядов, т.е. посредством чего передается действие одного заряда на другой. Поиск ответа на этот вопрос привел английского физика М. Фарадея к гипотезе о существовании электрического поля, справедливость которой была полностью подтверждена последующими исследованиями. Согласно идее Фарадея электрические заряды не действуют друг на друга непосредственно. Каждый из них создает в окружающем пространстве электрическое поле. Поле одного заряда действует на другой заряд, и наоборот.

Все сказанное позволяет дать следующее определение: