Стандартна форма запису рівнянь стану

Нехай відомо нормоване (a0 = 1) диференціальне рівняння вхід - вихід, що встановлює зв'язок між виходом y(t) і входом u(t) дновимірної системи
n-го порядку:

 

Визначимо рівняння стану, що відповідають диференціальному рівнянню (2.43). Оскільки знання початкових значень вихідний змінної і її похідних

)

повністю визначає майбутній рух системи, то змінні

можуть бути прийняті як змінні стану

Розв’язавши рівняння (2.43) щодо старшої похідної, маємо

Тоді з (2.44) і (2.45) одержуємо наступну систему диференціальних рівнянь першого порядку щодо змінних стану x1(t), x2(t),K, xn(t) і алгебраїчне рівняння, що зв'язує вихід системи y(t) з відповідною змінною стану

Систему рівнянь (2.46) зручно записати у векторно-матричній формі в такий спосіб:


або

 

де згідно з (2.47) матриця стану A розмірності n´ n , матриця входу B розмірності n ´1 , матриця виходу C розмірності 1´ n і вектор стану x(t) розмірності n´1 дорівнюють:

Рівняння (2.46) називаються рівняннями стану в стандартній формі.

Приклад 2.5. Рівняння САК по каналу вхід-вихід має вигляд

Перетворити це рівняння в рівняння стану і вирішити їх.

Вирішення.

Перетворимо (2.50) до нормованого вигляду

Позначимо: x1(t) = y(t); x2(t) = y(t); x3(t) = y(t) і перетворимо вихідне рівняння до системи вигляд у (2.46)

Тоді рівняння стану САУ набуде вигляду:

де


Вирішення системи (2.53) зручно виконати за допомогою програми Simulink, скориставшись методом зниження порядку похідних. Відповідна блок-схема наведена на рис. 2.14.

Рис. 2.14 – Блок-схема вирішення диференціального рівняння третього порядку за допомогою програми Simulink

Тут: три блоки Integrator здійснюють інтегрування відповідних вхід-них змінних із заданням від внутрішнього джерела internal їхніх початкових значень; чотири блоки Gain служать для задання зазначених на рис. коефіцієнтів рівняння; ручний перемикач Manual Switch здійснює вибір типу вхідного сигналу.

Відповідні графіки змінних стану при u(t) = 1(t) подані на рис. 2.15.

 

в)

Рис. 2.15 – Графіки змінних стану:

Структурні схеми САК

У ТАК при аналізі САК саме широке застосування одержали так звані структурні схеми. При цьому під структурною схемою САУ мається на увазі умовне графічне зображення математичної моделі системи у вигляді сукупності окремих ланок із вказівкою зв'язків між ними.

Ця схема, по суті, являє собою графічне зображення системи рівнянь, що описують поводження елементів і пристроїв САК.

Структурна схема може також розглядатися як схема проходження і перетворення сигналів у САК. Тому її іноді ще називають алгоритмічною схемою.