Теорема о проецировании прямого угла
Вопрос
Параллельные прямые линии.
Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Проекции параллельных прямых на любую плоскость (не перпендикулярную данным прямым) - параллельны.
Пересекающиеся прямые.
Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.
Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находится на одной линии связи
Скрещивающимися называются две прямые не лежащие в одной плоскости.
Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точка пересечения их одноименных проекций не лежит на одной линии связи.
Если у точек равны две одноименные координаты, то они называются конкурирующими. Конкурирующие точки расположены на одной проецирующей прямой.
Горизонтальная проекция этого перпендикуляра, обозначенная стрелкой, позволяет установить, какая из двух точек ближе к наблюдателю. На предложенном примере ближе точка В лежащая на прямой в,следовательно, прямая впроходит в этом месте ближе прямой а и фронтальная проекция точки В закрывает проекцию точки А. (Для точек С и Д решение аналогично).
Этот способ определения видимости по конкурентным точкам. В данном случае точки А и В- фронтально конкурирующие, а С и Д -горизонтально конкурирующие.
Теорема о проецировании прямого угла
Если хотя бы одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажения.
5 вопрос
Плоскость – одно из основных понятий геометрии.
1. Плоскость есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые ее точки;
2. Плоскость есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.
Плоскость в линейной алгебре - поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением 1-ой степени. Общее уравнение плоскости:
Ax+By+Cz+D=0,
где А, В, С, и D - постоянные, причем А, В и С одновременно не равны нулю.
Способы графического задания плоскостей |
Положение плоскости в пространстве можно определить:
1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой линии
![]() | ![]() |
2. Прямой линией и точкой, не принадлежащей этой прямой
![]() | ![]() |
3. Двумя пересекающимися прямыми
![]() | ![]() |
4. Двумя параллельными прямыми
![]() | ![]() |
Различное положение плоскости относительно плоскостей проекций
1. Плоскость не перпендикулярная ни одной плоскости проекций называется плоскостью общего положения. Такая плоскость пересекает все плоскости проекций
2. Плоскости перпендикулярные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими.
горизонтально проецирующей плоскостью
![]() | ![]() |
2.2. Плоскость перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (a^П2)- фронтально проецирующая плоскость.
![]() | ![]() |
2.3. Плоскость перпендикулярная профильной плоскости ( ^aП3) - профильно проецирующая плоскость.
![]() | ![]() |
3. Плоскости параллельные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются плоскостями уровня. В зависимости от того, какой плоскости параллельны исследуемая плоскость, различают:
3.1. Горизонтальная плоскость - плоскость параллельная горизонтальной плоскости проекций (aП1) - (^aП2,^aП3
![]() | ![]() |
3.2. Фронтальная плоскость - плоскость параллельная фронтальной плоскости проекций (aП2), (a^П1, a^П3). Любая фигура в этой плоскости проецируется на плоскость П2 без искажения, а на плоскости П1 и П3 в прямые - следы плоскости aП1 и aП3
![]() | ![]() |
3.3.Профильная плоскость - плоскость параллельная профильной плоскости проекций (a//П3), (a^П1, a^П2).Любая фигура в этой плоскости проецируется на плоскость П3 без искажения, а на плоскости П1 и П2 в прямые - следы плоскости aП1 и aП2
![]() | ![]() |
Следом плоскости называется линия пересечения плоскости с плоскостями проекций. В зависимости от того с какой из плоскостей проекций пересекается данная, различают: горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости.
![]() | ![]() |
6 вопрос
Взаимное расположение прямой и плоскости |
Определение взаимного положения прямой и плоскости - позиционная задача, для решения которой применяется метод вспомогательных секущих плоскостей.
Прямая линия, принадлежащая плоскости |
Аксиома 1. Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат той же плоскости
![]() | ![]() | |||
Аксиома 2.Прямая принадлежит плоскости, если имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна какой-либо прямой расположенной в этой плоскости.
![]() | ![]() | ||
Главные линии в плоскости |
Среди прямых линий, принадлежащих плоскости, особое место занимают прямые, занимающие частное положение в пространстве:
1. Горизонтали h - прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций (hÎСВА, hP1, h2Ох,h3Оy)
![]() | ![]() | ||
2. Фронтали f - прямые, расположенные в плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций (fÎСВА, fP2, f1Ох, f3Оz)
![]() | ![]() | ||
3. Профильные прямые р - прямые, которые находятся в данной плоскости и параллельны профильной плоскости проекций (рÎСВА, рP3, р1^Ох, р2^Ох)
![]() | ![]() | ||
Следует заметить, что следы плоскости можно отнести тоже к главным линиям. Горизонтальный след - это горизонталь плоскости, фронтальный - фронталь и профильный - профильная линия плоскости.
4. Линия наибольшего ската и её горизонтальная проекция образуют линейный угол j , которым измеряется двугранный угол, составленный данной плоскостью и горизонтальной плоскостью проекций
![]() | ![]() |
7 вопрос
Возможны два случая взаимного расположения двух плоскостей в пространстве:
- Параллельны
- Пересекаться
Опр. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, в противном случаи они пересекаются.
Теорема1: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.