Взаимное преобразование схем звезда-треугольник
Соединение, представленное на рисунке 2.109 а, называют трехлучевой звездой, а на рис. 2.109 б – треугольник сопротивлений.
Ставится задача осуществить преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник и наоборот.
В общем случае звезда (треугольник) сопротивлений подключены к разветвленной схеме в узлах 1, 2, 3. Преобразования должны быть эквивалентными, т.е. в результате преобразований в остальной части схемы никаких изменений нет. Токи 
, 
, 
и потенциалы 
, 
, 
остаются неизменными.
Рисунок 2.109 – Трехлучевая звезда и треугольник сопротивлений
Для доказательства рассмотрим преобразования треугольника сопротивлений (рис. 2.109 б) в эквивалентную звезду схему треугольник (рис. 2.109 а). В этом случае исходными данными являются величины сопротивлений треугольника 
, 
, 
. Необходимо определить величины сопротивлений эквивалентной звезды – 
, 
, 
.
Из схемы треугольник (рис. 2.109 б), согласно второго закона Кирхгофа, имеем:
Используя первый закон Кирхгофа для 1 и 2 узлов, соответственно получим:
, 
.
Подставим полученные выражения, в уравнение, составленное по второму закона Кирхгофа. В результате имеем:
, откуда
.
Тогда напряжение 
между узлами 1 и 2:
.
Рассмотрим схему звезда (рис. 2.109 а). Для данной схемы
.
Сравнивая полученные выражения для U12,
.
Так как схемы эквивалентные то напряжение одинаково и коэффициенты при токах и тоже должны быть одинаковыми. Следовательно:
, 
, 
.
Пример 2.27.Рассмотрим эффективность преобразование треугольника сопротивлений в звезду сопротивлений.
1. Исходная схема (рис. 2.110 а) содержит 
ветвей и 
узла.
2. Преобразовываем треугольник сопротивлений 
, 
, 
в эквивалентную звезду 
, 
, 
, сопротивления которой соответственно равны :
, 
, 
.
В результате преобразования получим эквивалентную схему, представленную на рисунке 2.110 б.
Рисунок 2.110 – Преобразование треугольника сопротивлений
в эквивалентную звезду
Таким образом, после преобразования произошло упрощение схемы: вместо шести ветвей в первой схеме получили три ветви во второй; вместо четырех узлов в первой схеме получили два узла во второй.
Пример 2.28.Рассмотрим пример взаимных преобразований треугольник–звезда на конкретном примере. В схеме, приведенной на рисунке 2.111, заданы напряжения источников ЭДС Е1 = 20 В, Е3 = 15 В и значения сопротивлений r1 = 150 Ом, r2 = 50 Ом, r3 = 75 Ом, r4 = 1000 Ом, r5 = 800 Ом, r6 = 200 Ом. Определить токи ветвей.
Рисунок 2.111 – Исходная электрическая цепь постоянного тока
1. Исходная схема (рис. 2.111) содержит ветвей и 
узла.
2. Преобразовываем треугольник сопротивлений , , в эквивалентную звезду 
, 
, 
, сопротивления которой соответственно равны:
Ом,
Ом,
Ом.
В результате преобразования получим эквивалентную схему, представленную на рисунке 2.112.
Рисунок 2.112 – Преобразование треугольника сопротивлений
в эквивалентную звезду
Таким образом, после преобразования произошло упрощение схемы: вместо шести ветвей в исходной схеме получили три ветви в преобразованной схеме; вместо четырех узлов в исходной схеме получили два узла в преобразованной схеме.
3. Рассчитываем токи в электрической схеме, приведенной на рисунке 2.112, методом узловых потенциалов.
3.1. Осуществляем предварительный анализ схемы.
Количество ветвей – 
, количество узлов – 
.
3.2. Рассчитываем токи в ветвях методом узловых потенциалов.
Потенциал четвертого узла принимаем равным нулю: 
. Следовательно, необходимо определить потенциал пятого узла 
.
3.2.1. Составляем уравнение для определения потенциала :
.
5.2.1.1. Подставляем числовые значения и находим потенциал .
5.2.1.2. Сумма проводимостей ветвей, подключенных к соответствующим узлам:
См;
Узловые токи
мА.
5.2.1.3. После подстановки цифровых значений, определяем потенциал : 
В.
5.2.2. Определяем токи в ветвях электрической цепи, приведенной на рисунке 2.112.
мА,
мА,
мА.
3.2.5. Используя второй закон Кирхгофа, определяем токи 
и 
в электрической цепи, приведенной на рисунке 2.111:
мА;
мА.
3.2.6. Используя первый закон Кирхгофа, определяем ток 
в электрической цепи, приведенной на рисунке 2.111:
мА.
4. Проверяем решение, составив баланс мощностей.
4.1. Мощность, генерируемая источниками питания:
Вт,
Вт.
Суммарная мощность источников:
Вт.
4.2. Мощность, потребляемая приемниками:
Вт,
Вт,
Вт,
Вт,
Вт,
Вт.
Суммарная мощность, потребляемая приемниками:
Вт.
4.3. Из сравнения генерируемой мощности источником и потребляемой мощности приемниками, следует, что погрешность вычислении 
и не превышает 0,5%.
Возможно и обратное преобразование – звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник (рис. 2.113).
Рисунок 2.113 – Треугольник сопротивлений и трехлучевая звезда
В этом случае исходными данными являются сопротивления , 
, . Необходимо определить сопротивления , 
, .
Рассмотрим схему звезда (рис. 2.113 б). Ток 
равен:
.
Из метода узловых потенциалов 
.
Тогда ток
.
Из схемы треугольник (рис. 2.113 а), имеем: 
.
Ток 
, 
.
Тогда ток
.
Сравнивая ток при соединении звездой и треугольником, и учитывая эквивалентность преобразований, имеем:
, 
.
Аналогично 
.
Если в вышеуказанные формулы вместо проводимостей 
, 
, 
, 
подставить величины сопротивлений , , , , тогда
.
В общем виде формулы преобразования имеют вид:
; 
; 
.
Пример 2.29.Рассмотрим пример взаимных преобразований звезда–треугольник на конкретном примере. В схеме, приведенной на рисунке 2.114 а, заданы ЭДС Е = 20 В и значения сопротивлений r1 = 4 Ом, r2 = 1 Ом, r3 = 1 Ом, r4 = 2 Ом, r5 = 4 Ом, r6 = 5 Ом. Определить токи ветвей.
Рисунок 2.114 – Электрическая схема
1. Расчет токов целесообразно осуществлять, преобразуя предварительно звезду 
в треугольник по схеме, приведенной на рисунке 2.114 б. В соответствии с формулами преобразования звезды сопротивлений в треугольник
Ом,
Ом,
Ом.
2. Токи в ветви определяем по закону Ома:
А.
3. Ветви , также как и ветви , соединены параллельно:
Ом,
Ом.
4. Ветви 
и 
соединены последовательно:
Ом.
5. Общий ток: 
А.
6. Определяем напряжение 
и 
:
В,
В.
7. Токи и в схеме цепи, приведенной на рисунке 2.114 а, определяем по закону Ома:
А, 
А.
8. Ток 
в схеме цепи, приведенной на рисунке 2.114 а, определяем из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для узла 2:
А.
9. Ток в схеме цепи, приведенной на рисунке 2.114 а, определяем из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для контура 1421:
А.
10. Ток в схеме цепи, приведенной на рисунке 2.114 а, определяем из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для узла 4:
А.
11. Ток 
в ветви с источником ЭДС в схеме цепи, приведенной на рисунке 2.114 а, определяем из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для узла 1:
А.
12. Проверяем решение системы уравнений, составив баланс мощностей.
12.1. Мощность, генерируемая источником напряжения:
Вт.
12.2.Мощность приемников:
Вт,
Вт,
Вт,
Вт,
Вт,
Вт,
Суммарная мощность приемников:
Вт.
12.3. Из сравнения генерируемой мощности источниками и потребляемой мощности приемниками, следует, что погрешность вычислений 
и не превышает 0,5%.